Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57699 / 88739
↖ ↑ ↗
← S 53.597395°
W 21.524963°		 ← 181.22 m → S 53.597395°
W 21.522217°		 →
↑
181.25 m
↓
↑
181.25 m
↓
S 53.599025°
W 21.524963°		 ← 181.21 m →
32 846 m²		 S 53.599025°
W 21.522217°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440212249755859 y=0.677028656005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440212249755859 × 217)
    floor (0.440212249755859 × 131072)
    floor (57699.5)     		tx = 57699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677028656005859 × 217)
    floor (0.677028656005859 × 131072)
    floor (88739.5)     		ty = 88739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57699 / 88739 ti = "17/57699/88739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57699/88739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57699 ÷ 217
    57699 ÷ 131072     		x = 0.440208435058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88739 ÷ 217
    88739 ÷ 131072     		y = 0.677024841308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440208435058594 × 2 - 1) × π
    -0.119583129882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.37568148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677024841308594 × 2 - 1) × π
    -0.354049682617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.11227988188416
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37568148} λ = -0.37568148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11227988188416))-π/2
    2×atan(0.328808461420436)-π/2
    2×0.317672656659147-π/2
    0.635345313318294-1.57079632675     		φ = -0.93545101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37568148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.524963°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93545101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.597395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57699 KachelY 88739 -0.37568148 -0.93545101 -21.524963 -53.597395
    Oben rechts KachelX + 1 57700 KachelY 88739 -0.37563355 -0.93545101 -21.522217 -53.597395
    Unten links KachelX 57699 KachelY + 1 88740 -0.37568148 -0.93547946 -21.524963 -53.599025
    Unten rechts KachelX + 1 57700 KachelY + 1 88740 -0.37563355 -0.93547946 -21.522217 -53.599025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93545101--0.93547946) × R
    2.84500000000687e-05 × 6371000     		dl = 181.254950000438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93545101--0.93547946) × R
    2.84500000000687e-05 × 6371000     		dr = 181.254950000438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37568148--0.37563355) × cos(-0.93545101) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593455483761839 × 6371000     		do = 181.218771236258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37568148--0.37563355) × cos(-0.93547946) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.593432585060802 × 6371000     		du = 181.211778842425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93545101)-sin(-0.93547946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593455483761839-0.593432585060802)×R²
    abs(-0.37563355--0.37568148)×2.28987010365556e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.28987010365556e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.28987010365556e-05×40589641000000     		ar = 32846.1656187687m²