Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57698 / 90444
↖ ↑ ↗
← S 56.286059°
W 21.527710°		 ← 169.53 m → S 56.286059°
W 21.524963°		 →
↑
169.47 m
↓
↑
169.47 m
↓
S 56.287583°
W 21.527710°		 ← 169.52 m →
28 729 m²		 S 56.287583°
W 21.524963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440204620361328 y=0.690036773681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440204620361328 × 217)
    floor (0.440204620361328 × 131072)
    floor (57698.5)     		tx = 57698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690036773681641 × 217)
    floor (0.690036773681641 × 131072)
    floor (90444.5)     		ty = 90444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57698 / 90444 ti = "17/57698/90444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57698/90444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57698 ÷ 217
    57698 ÷ 131072     		x = 0.440200805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90444 ÷ 217
    90444 ÷ 131072     		y = 0.690032958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440200805664062 × 2 - 1) × π
    -0.119598388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37572942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690032958984375 × 2 - 1) × π
    -0.38006591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.19401229573636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37572942} λ = -0.37572942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19401229573636))-π/2
    2×atan(0.303003083869825)-π/2
    2×0.294209635010528-π/2
    0.588419270021056-1.57079632675     		φ = -0.98237706
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37572942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.527710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98237706 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.286059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57698 KachelY 90444 -0.37572942 -0.98237706 -21.527710 -56.286059
    Oben rechts KachelX + 1 57699 KachelY 90444 -0.37568148 -0.98237706 -21.524963 -56.286059
    Unten links KachelX 57698 KachelY + 1 90445 -0.37572942 -0.98240366 -21.527710 -56.287583
    Unten rechts KachelX + 1 57699 KachelY + 1 90445 -0.37568148 -0.98240366 -21.524963 -56.287583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98237706--0.98240366) × R
    2.65999999999877e-05 × 6371000     		dl = 169.468599999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98237706--0.98240366) × R
    2.65999999999877e-05 × 6371000     		dr = 169.468599999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37572942--0.37568148) × cos(-0.98237706) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.55504683284251 × 6371000     		do = 169.525589655469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37572942--0.37568148) × cos(-0.98240366) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.555024706258117 × 6371000     		du = 169.518831627057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98237706)-sin(-0.98240366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55504683284251-0.555024706258117)×R²
    abs(-0.37568148--0.37572942)×2.21265843934892e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21265843934892e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21265843934892e-05×40589641000000     		ar = 28728.6917080165m²