Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57698 / 89606
↖ ↑ ↗
← S 54.987070°
W 21.527710°		 ← 175.24 m → S 54.987070°
W 21.524963°		 →
↑
175.20 m
↓
↑
175.20 m
↓
S 54.988646°
W 21.527710°		 ← 175.23 m →
30 702 m²		 S 54.988646°
W 21.524963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440204620361328 y=0.683643341064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440204620361328 × 217)
    floor (0.440204620361328 × 131072)
    floor (57698.5)     		tx = 57698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683643341064453 × 217)
    floor (0.683643341064453 × 131072)
    floor (89606.5)     		ty = 89606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57698 / 89606 ti = "17/57698/89606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57698/89606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57698 ÷ 217
    57698 ÷ 131072     		x = 0.440200805664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89606 ÷ 217
    89606 ÷ 131072     		y = 0.683639526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440200805664062 × 2 - 1) × π
    -0.119598388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37572942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683639526367188 × 2 - 1) × π
    -0.367279052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15384117385475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37572942} λ = -0.37572942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15384117385475))-π/2
    2×atan(0.315422845438095)-π/2
    2×0.305545453955652-π/2
    0.611090907911304-1.57079632675     		φ = -0.95970542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37572942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.527710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95970542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.987070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57698 KachelY 89606 -0.37572942 -0.95970542 -21.527710 -54.987070
    Oben rechts KachelX + 1 57699 KachelY 89606 -0.37568148 -0.95970542 -21.524963 -54.987070
    Unten links KachelX 57698 KachelY + 1 89607 -0.37572942 -0.95973292 -21.527710 -54.988646
    Unten rechts KachelX + 1 57699 KachelY + 1 89607 -0.37568148 -0.95973292 -21.524963 -54.988646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95970542--0.95973292) × R
    2.74999999999581e-05 × 6371000     		dl = 175.202499999733m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95970542--0.95973292) × R
    2.74999999999581e-05 × 6371000     		dr = 175.202499999733m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37572942--0.37568148) × cos(-0.95970542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.573761278636877 × 6371000     		do = 175.241463110899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37572942--0.37568148) × cos(-0.95973292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.573738755298832 × 6371000     		du = 175.23458390371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95970542)-sin(-0.95973292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.573761278636877-0.573738755298832)×R²
    abs(-0.37568148--0.37572942)×2.25233380447554e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25233380447554e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25233380447554e-05×40589641000000     		ar = 30702.1398154583m²