Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57697 / 90443
↖ ↑ ↗
← S 56.284535°
W 21.530457°		 ← 169.53 m → S 56.284535°
W 21.527710°		 →
↑
169.53 m
↓
↑
169.53 m
↓
S 56.286059°
W 21.530457°		 ← 169.53 m →
28 741 m²		 S 56.286059°
W 21.527710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440196990966797 y=0.690029144287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440196990966797 × 217)
    floor (0.440196990966797 × 131072)
    floor (57697.5)     		tx = 57697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690029144287109 × 217)
    floor (0.690029144287109 × 131072)
    floor (90443.5)     		ty = 90443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57697 / 90443 ti = "17/57697/90443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57697/90443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57697 ÷ 217
    57697 ÷ 131072     		x = 0.440193176269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90443 ÷ 217
    90443 ÷ 131072     		y = 0.690025329589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440193176269531 × 2 - 1) × π
    -0.119613647460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.37577736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690025329589844 × 2 - 1) × π
    -0.380050659179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.19396435883674
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37577736} λ = -0.37577736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19396435883674))-π/2
    2×atan(0.303017609246389)-π/2
    2×0.294222938887989-π/2
    0.588445877775979-1.57079632675     		φ = -0.98235045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37577736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.530457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98235045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.284535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57697 KachelY 90443 -0.37577736 -0.98235045 -21.530457 -56.284535
    Oben rechts KachelX + 1 57698 KachelY 90443 -0.37572942 -0.98235045 -21.527710 -56.284535
    Unten links KachelX 57697 KachelY + 1 90444 -0.37577736 -0.98237706 -21.530457 -56.286059
    Unten rechts KachelX + 1 57698 KachelY + 1 90444 -0.37572942 -0.98237706 -21.527710 -56.286059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98235045--0.98237706) × R
    2.6610000000038e-05 × 6371000     		dl = 169.532310000242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98235045--0.98237706) × R
    2.6610000000038e-05 × 6371000     		dr = 169.532310000242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37577736--0.37572942) × cos(-0.98235045) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555068967352218 × 6371000     		do = 169.532350104672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37577736--0.37572942) × cos(-0.98237706) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.55504683284251 × 6371000     		du = 169.525589655665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98235045)-sin(-0.98237706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555068967352218-0.55504683284251)×R²
    abs(-0.37572942--0.37577736)×2.2134509707894e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2134509707894e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2134509707894e-05×40589641000000     		ar = 28740.6378774402m²