Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57696 / 90528
↖ ↑ ↗
← S 56.413901°
W 21.533203°		 ← 168.92 m → S 56.413901°
W 21.530457°		 →
↑
168.96 m
↓
↑
168.96 m
↓
S 56.415421°
W 21.533203°		 ← 168.92 m →
28 540 m²		 S 56.415421°
W 21.530457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440189361572266 y=0.690677642822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440189361572266 × 217)
    floor (0.440189361572266 × 131072)
    floor (57696.5)     		tx = 57696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690677642822266 × 217)
    floor (0.690677642822266 × 131072)
    floor (90528.5)     		ty = 90528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57696 / 90528 ti = "17/57696/90528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57696/90528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57696 ÷ 217
    57696 ÷ 131072     		x = 0.440185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90528 ÷ 217
    90528 ÷ 131072     		y = 0.690673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440185546875 × 2 - 1) × π
    -0.11962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37582529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690673828125 × 2 - 1) × π
    -0.38134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19803899530444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37582529} λ = -0.37582529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19803899530444))-π/2
    2×atan(0.301785434681886)-π/2
    2×0.293094001953581-π/2
    0.586188003907162-1.57079632675     		φ = -0.98460832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37582529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.533203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98460832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.413901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57696 KachelY 90528 -0.37582529 -0.98460832 -21.533203 -56.413901
    Oben rechts KachelX + 1 57697 KachelY 90528 -0.37577736 -0.98460832 -21.530457 -56.413901
    Unten links KachelX 57696 KachelY + 1 90529 -0.37582529 -0.98463484 -21.533203 -56.415421
    Unten rechts KachelX + 1 57697 KachelY + 1 90529 -0.37577736 -0.98463484 -21.530457 -56.415421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98460832--0.98463484) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dl = 168.95892000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98460832--0.98463484) × R
    2.65200000000299e-05 × 6371000     		dr = 168.95892000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37582529--0.37577736) × cos(-0.98460832) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.553189448044213 × 6371000     		do = 168.923052829268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37582529--0.37577736) × cos(-0.98463484) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.553167355218325 × 6371000     		du = 168.916306519107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98460832)-sin(-0.98463484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553189448044213-0.553167355218325)×R²
    abs(-0.37577736--0.37582529)×2.20928258878317e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20928258878317e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20928258878317e-05×40589641000000     		ar = 28540.4866462449m²