Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57695 / 90147
↖ ↑ ↗
← S 55.830602°
W 21.535950°		 ← 171.54 m → S 55.830602°
W 21.533203°		 →
↑
171.51 m
↓
↑
171.51 m
↓
S 55.832144°
W 21.535950°		 ← 171.53 m →
29 420 m²		 S 55.832144°
W 21.533203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90147 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440181732177734 y=0.687770843505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440181732177734 × 217)
    floor (0.440181732177734 × 131072)
    floor (57695.5)     		tx = 57695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687770843505859 × 217)
    floor (0.687770843505859 × 131072)
    floor (90147.5)     		ty = 90147
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57695 / 90147 ti = "17/57695/90147"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57695/90147.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57695 ÷ 217
    57695 ÷ 131072     		x = 0.440177917480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90147 ÷ 217
    90147 ÷ 131072     		y = 0.687767028808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440177917480469 × 2 - 1) × π
    -0.119644165039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.37587323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687767028808594 × 2 - 1) × π
    -0.375534057617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.1797750365492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37587323} λ = -0.37587323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1797750365492))-π/2
    2×atan(0.307347872862573)-π/2
    2×0.298184255259968-π/2
    0.596368510519936-1.57079632675     		φ = -0.97442782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37587323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.535950°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97442782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.830602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57695 KachelY 90147 -0.37587323 -0.97442782 -21.535950 -55.830602
    Oben rechts KachelX + 1 57696 KachelY 90147 -0.37582529 -0.97442782 -21.533203 -55.830602
    Unten links KachelX 57695 KachelY + 1 90148 -0.37587323 -0.97445474 -21.535950 -55.832144
    Unten rechts KachelX + 1 57696 KachelY + 1 90148 -0.37582529 -0.97445474 -21.533203 -55.832144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97442782--0.97445474) × R
    2.69200000000414e-05 × 6371000     		dl = 171.507320000263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97442782--0.97445474) × R
    2.69200000000414e-05 × 6371000     		dr = 171.507320000263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37587323--0.37582529) × cos(-0.97442782) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.561641556129483 × 6371000     		do = 171.539787895685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37587323--0.37582529) × cos(-0.97445474) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.561619282838515 × 6371000     		du = 171.532985059309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97442782)-sin(-0.97445474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561641556129483-0.561619282838515)×R²
    abs(-0.37582529--0.37587323)×2.22732909672674e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.22732909672674e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.22732909672674e-05×40589641000000     		ar = 29419.745929104m²