Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57686 / 90230
↖ ↑ ↗
← S 55.958426°
W 21.560669°		 ← 170.94 m → S 55.958426°
W 21.557923°		 →
↑
170.93 m
↓
↑
170.93 m
↓
S 55.959963°
W 21.560669°		 ← 170.93 m →
29 219 m²		 S 55.959963°
W 21.557923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440113067626953 y=0.688404083251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440113067626953 × 217)
    floor (0.440113067626953 × 131072)
    floor (57686.5)     		tx = 57686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688404083251953 × 217)
    floor (0.688404083251953 × 131072)
    floor (90230.5)     		ty = 90230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57686 / 90230 ti = "17/57686/90230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57686/90230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57686 ÷ 217
    57686 ÷ 131072     		x = 0.440109252929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90230 ÷ 217
    90230 ÷ 131072     		y = 0.688400268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440109252929688 × 2 - 1) × π
    -0.119781494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37630466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688400268554688 × 2 - 1) × π
    -0.376800537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.18375379921767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37630466} λ = -0.37630466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18375379921767))-π/2
    2×atan(0.306127438139865)-π/2
    2×0.297068774015486-π/2
    0.594137548030972-1.57079632675     		φ = -0.97665878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37630466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.560669°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97665878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.958426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57686 KachelY 90230 -0.37630466 -0.97665878 -21.560669 -55.958426
    Oben rechts KachelX + 1 57687 KachelY 90230 -0.37625673 -0.97665878 -21.557923 -55.958426
    Unten links KachelX 57686 KachelY + 1 90231 -0.37630466 -0.97668561 -21.560669 -55.959963
    Unten rechts KachelX + 1 57687 KachelY + 1 90231 -0.37625673 -0.97668561 -21.557923 -55.959963
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97665878--0.97668561) × R
    2.68300000000332e-05 × 6371000     		dl = 170.933930000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97665878--0.97668561) × R
    2.68300000000332e-05 × 6371000     		dr = 170.933930000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37630466--0.37625673) × cos(-0.97665878) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.559794306799815 × 6371000     		do = 170.939925906939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37630466--0.37625673) × cos(-0.97668561) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.559772074412416 × 6371000     		du = 170.933136979991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97665878)-sin(-0.97668561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.559794306799815-0.559772074412416)×R²
    abs(-0.37625673--0.37630466)×2.22323873989572e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.22323873989572e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.22323873989572e-05×40589641000000     		ar = 29218.8531018729m²