Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57682 / 88170
↖ ↑ ↗
← S 52.659726°
W 21.571655°		 ← 185.26 m → S 52.659726°
W 21.568909°		 →
↑
185.27 m
↓
↑
185.27 m
↓
S 52.661392°
W 21.571655°		 ← 185.25 m →
34 321 m²		 S 52.661392°
W 21.568909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440082550048828 y=0.672687530517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440082550048828 × 217)
    floor (0.440082550048828 × 131072)
    floor (57682.5)     		tx = 57682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672687530517578 × 217)
    floor (0.672687530517578 × 131072)
    floor (88170.5)     		ty = 88170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57682 / 88170 ti = "17/57682/88170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57682/88170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57682 ÷ 217
    57682 ÷ 131072     		x = 0.440078735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88170 ÷ 217
    88170 ÷ 131072     		y = 0.672683715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440078735351562 × 2 - 1) × π
    -0.119842529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37649641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672683715820312 × 2 - 1) × π
    -0.345367431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.08500378600035
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37649641} λ = -0.37649641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08500378600035))-π/2
    2×atan(0.337900506600855)-π/2
    2×0.325855363039382-π/2
    0.651710726078765-1.57079632675     		φ = -0.91908560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37649641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.571655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91908560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.659726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57682 KachelY 88170 -0.37649641 -0.91908560 -21.571655 -52.659726
    Oben rechts KachelX + 1 57683 KachelY 88170 -0.37644847 -0.91908560 -21.568909 -52.659726
    Unten links KachelX 57682 KachelY + 1 88171 -0.37649641 -0.91911468 -21.571655 -52.661392
    Unten rechts KachelX + 1 57683 KachelY + 1 88171 -0.37644847 -0.91911468 -21.568909 -52.661392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91908560--0.91911468) × R
    2.90800000000146e-05 × 6371000     		dl = 185.268680000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91908560--0.91911468) × R
    2.90800000000146e-05 × 6371000     		dr = 185.268680000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37649641--0.37644847) × cos(-0.91908560) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606547401392058 × 6371000     		do = 185.255188915339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37649641--0.37644847) × cos(-0.91911468) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.606524281159371 × 6371000     		du = 185.248127401162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91908560)-sin(-0.91911468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606547401392058-0.606524281159371)×R²
    abs(-0.37644847--0.37649641)×2.31202326861357e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31202326861357e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31202326861357e-05×40589641000000     		ar = 34321.3301773702m²