Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57682 / 88134
↖ ↑ ↗
← S 52.599711°
W 21.571655°		 ← 185.51 m → S 52.599711°
W 21.568909°		 →
↑
185.46 m
↓
↑
185.46 m
↓
S 52.601379°
W 21.571655°		 ← 185.50 m →
34 404 m²		 S 52.601379°
W 21.568909°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440082550048828 y=0.672412872314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440082550048828 × 217)
    floor (0.440082550048828 × 131072)
    floor (57682.5)     		tx = 57682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672412872314453 × 217)
    floor (0.672412872314453 × 131072)
    floor (88134.5)     		ty = 88134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57682 / 88134 ti = "17/57682/88134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57682/88134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57682 ÷ 217
    57682 ÷ 131072     		x = 0.440078735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88134 ÷ 217
    88134 ÷ 131072     		y = 0.672409057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440078735351562 × 2 - 1) × π
    -0.119842529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37649641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672409057617188 × 2 - 1) × π
    -0.344818115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.08327805761403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37649641} λ = -0.37649641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08327805761403))-π/2
    2×atan(0.338484134543659)-π/2
    2×0.326379090181356-π/2
    0.652758180362712-1.57079632675     		φ = -0.91803815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37649641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.571655°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91803815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.599711°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57682 KachelY 88134 -0.37649641 -0.91803815 -21.571655 -52.599711
    Oben rechts KachelX + 1 57683 KachelY 88134 -0.37644847 -0.91803815 -21.568909 -52.599711
    Unten links KachelX 57682 KachelY + 1 88135 -0.37649641 -0.91806726 -21.571655 -52.601379
    Unten rechts KachelX + 1 57683 KachelY + 1 88135 -0.37644847 -0.91806726 -21.568909 -52.601379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91803815--0.91806726) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dl = 185.459810000346m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91803815--0.91806726) × R
    2.91100000000544e-05 × 6371000     		dr = 185.459810000346m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37649641--0.37644847) × cos(-0.91803815) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.60737984082376 × 6371000     		do = 185.509437344772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37649641--0.37644847) × cos(-0.91806726) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.607356715245865 × 6371000     		du = 185.502374198031m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91803815)-sin(-0.91806726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60737984082376-0.607356715245865)×R²
    abs(-0.37644847--0.37649641)×2.31255778949668e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31255778949668e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31255778949668e-05×40589641000000     		ar = 34403.8900406345m²