Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57681 / 89686
↖ ↑ ↗
← S 55.112943°
W 21.574402°		 ← 174.69 m → S 55.112943°
W 21.571655°		 →
↑
174.69 m
↓
↑
174.69 m
↓
S 55.114514°
W 21.574402°		 ← 174.68 m →
30 517 m²		 S 55.114514°
W 21.571655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440074920654297 y=0.684253692626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440074920654297 × 217)
    floor (0.440074920654297 × 131072)
    floor (57681.5)     		tx = 57681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684253692626953 × 217)
    floor (0.684253692626953 × 131072)
    floor (89686.5)     		ty = 89686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57681 / 89686 ti = "17/57681/89686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57681/89686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57681 ÷ 217
    57681 ÷ 131072     		x = 0.440071105957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89686 ÷ 217
    89686 ÷ 131072     		y = 0.684249877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440071105957031 × 2 - 1) × π
    -0.119857788085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.37654435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684249877929688 × 2 - 1) × π
    -0.368499755859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.15767612582436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37654435} λ = -0.37654435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15767612582436))-π/2
    2×atan(0.314215530452864)-π/2
    2×0.304447007332053-π/2
    0.608894014664106-1.57079632675     		φ = -0.96190231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37654435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.574402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96190231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.112943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57681 KachelY 89686 -0.37654435 -0.96190231 -21.574402 -55.112943
    Oben rechts KachelX + 1 57682 KachelY 89686 -0.37649641 -0.96190231 -21.571655 -55.112943
    Unten links KachelX 57681 KachelY + 1 89687 -0.37654435 -0.96192973 -21.574402 -55.114514
    Unten rechts KachelX + 1 57682 KachelY + 1 89687 -0.37649641 -0.96192973 -21.571655 -55.114514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96190231--0.96192973) × R
    2.74200000000002e-05 × 6371000     		dl = 174.692820000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96190231--0.96192973) × R
    2.74200000000002e-05 × 6371000     		dr = 174.692820000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37654435--0.37649641) × cos(-0.96190231) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.571960592978083 × 6371000     		do = 174.691487361257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37654435--0.37649641) × cos(-0.96192973) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.571938100655357 × 6371000     		du = 174.684617626944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96190231)-sin(-0.96192973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571960592978083-0.571938100655357)×R²
    abs(-0.37649641--0.37654435)×2.24923227262197e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24923227262197e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24923227262197e-05×40589641000000     		ar = 30516.748512557m²