Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57677 / 89684
↖ ↑ ↗
← S 55.109801°
W 21.585388°		 ← 174.67 m → S 55.109801°
W 21.582642°		 →
↑
174.69 m
↓
↑
174.69 m
↓
S 55.111372°
W 21.585388°		 ← 174.66 m →
30 513 m²		 S 55.111372°
W 21.582642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440044403076172 y=0.684238433837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440044403076172 × 217)
    floor (0.440044403076172 × 131072)
    floor (57677.5)     		tx = 57677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684238433837891 × 217)
    floor (0.684238433837891 × 131072)
    floor (89684.5)     		ty = 89684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57677 / 89684 ti = "17/57677/89684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57677/89684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57677 ÷ 217
    57677 ÷ 131072     		x = 0.440040588378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89684 ÷ 217
    89684 ÷ 131072     		y = 0.684234619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440040588378906 × 2 - 1) × π
    -0.119918823242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.37673609
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684234619140625 × 2 - 1) × π
    -0.36846923828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15758025202512
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37673609} λ = -0.37673609}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15758025202512))-π/2
    2×atan(0.314245656933696)-π/2
    2×0.30447442642764-π/2
    0.60894885285528-1.57079632675     		φ = -0.96184747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37673609} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.585388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96184747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.109801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57677 KachelY 89684 -0.37673609 -0.96184747 -21.585388 -55.109801
    Oben rechts KachelX + 1 57678 KachelY 89684 -0.37668816 -0.96184747 -21.582642 -55.109801
    Unten links KachelX 57677 KachelY + 1 89685 -0.37673609 -0.96187489 -21.585388 -55.111372
    Unten rechts KachelX + 1 57678 KachelY + 1 89685 -0.37668816 -0.96187489 -21.582642 -55.111372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96184747--0.96187489) × R
    2.74200000000002e-05 × 6371000     		dl = 174.692820000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96184747--0.96187489) × R
    2.74200000000002e-05 × 6371000     		dr = 174.692820000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37673609--0.37668816) × cos(-0.96184747) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.572005576333422 × 6371000     		do = 174.668783960601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37673609--0.37668816) × cos(-0.96187489) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.571983084870777 × 6371000     		du = 174.66191592191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96184747)-sin(-0.96187489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572005576333422-0.571983084870777)×R²
    abs(-0.37668816--0.37673609)×2.24914626448802e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.24914626448802e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.24914626448802e-05×40589641000000     		ar = 30512.7825392514m²