Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57675 / 89678
↖ ↑ ↗
← S 55.100373°
W 21.590881°		 ← 174.75 m → S 55.100373°
W 21.588135°		 →
↑
174.76 m
↓
↑
174.76 m
↓
S 55.101945°
W 21.590881°		 ← 174.74 m →
30 537 m²		 S 55.101945°
W 21.588135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440029144287109 y=0.684192657470703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440029144287109 × 217)
    floor (0.440029144287109 × 131072)
    floor (57675.5)     		tx = 57675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684192657470703 × 217)
    floor (0.684192657470703 × 131072)
    floor (89678.5)     		ty = 89678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57675 / 89678 ti = "17/57675/89678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57675/89678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57675 ÷ 217
    57675 ÷ 131072     		x = 0.440025329589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89678 ÷ 217
    89678 ÷ 131072     		y = 0.684188842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440025329589844 × 2 - 1) × π
    -0.119949340820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37683197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684188842773438 × 2 - 1) × π
    -0.368377685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1572926306274
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37683197} λ = -0.37683197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1572926306274))-π/2
    2×atan(0.314336053708171)-π/2
    2×0.304556696652759-π/2
    0.609113393305519-1.57079632675     		φ = -0.96168293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37683197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.590881°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96168293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.100373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57675 KachelY 89678 -0.37683197 -0.96168293 -21.590881 -55.100373
    Oben rechts KachelX + 1 57676 KachelY 89678 -0.37678403 -0.96168293 -21.588135 -55.100373
    Unten links KachelX 57675 KachelY + 1 89679 -0.37683197 -0.96171036 -21.590881 -55.101945
    Unten rechts KachelX + 1 57676 KachelY + 1 89679 -0.37678403 -0.96171036 -21.588135 -55.101945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96168293--0.96171036) × R
    2.74299999999394e-05 × 6371000     		dl = 174.756529999614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96168293--0.96171036) × R
    2.74299999999394e-05 × 6371000     		dr = 174.756529999614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37683197--0.37678403) × cos(-0.96168293) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.572140532480424 × 6371000     		do = 174.746445516915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37683197--0.37678403) × cos(-0.96171036) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57211803539703 × 6371000     		du = 174.739574328572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96168293)-sin(-0.96171036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572140532480424-0.57211803539703)×R²
    abs(-0.37678403--0.37683197)×2.24970833939686e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24970833939686e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24970833939686e-05×40589641000000     		ar = 30537.4820575204m²