Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57672 / 88489
↖ ↑ ↗
← S 53.187933°
W 21.599121°		 ← 183.01 m → S 53.187933°
W 21.596374°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
S 53.189579°
W 21.599121°		 ← 183 m →
33 485 m²		 S 53.189579°
W 21.596374°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440006256103516 y=0.675121307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440006256103516 × 217)
    floor (0.440006256103516 × 131072)
    floor (57672.5)     		tx = 57672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675121307373047 × 217)
    floor (0.675121307373047 × 131072)
    floor (88489.5)     		ty = 88489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57672 / 88489 ti = "17/57672/88489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57672/88489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57672 ÷ 217
    57672 ÷ 131072     		x = 0.44000244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88489 ÷ 217
    88489 ÷ 131072     		y = 0.675117492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44000244140625 × 2 - 1) × π
    -0.1199951171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37697578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.675117492675781 × 2 - 1) × π
    -0.350234985351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.10029565697915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37697578} λ = -0.37697578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10029565697915))-π/2
    2×atan(0.332772682586232)-π/2
    2×0.321245883883919-π/2
    0.642491767767838-1.57079632675     		φ = -0.92830456
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37697578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.599121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92830456 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.187933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57672 KachelY 88489 -0.37697578 -0.92830456 -21.599121 -53.187933
    Oben rechts KachelX + 1 57673 KachelY 88489 -0.37692784 -0.92830456 -21.596374 -53.187933
    Unten links KachelX 57672 KachelY + 1 88490 -0.37697578 -0.92833328 -21.599121 -53.189579
    Unten rechts KachelX + 1 57673 KachelY + 1 88490 -0.37692784 -0.92833328 -21.596374 -53.189579
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92830456--0.92833328) × R
    2.87200000000931e-05 × 6371000     		dl = 182.975120000593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92830456--0.92833328) × R
    2.87200000000931e-05 × 6371000     		dr = 182.975120000593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37697578--0.37692784) × cos(-0.92830456) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59919222090704 × 6371000     		do = 183.008727472656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37697578--0.37692784) × cos(-0.92833328) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59916922727865 × 6371000     		du = 183.00170462669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92830456)-sin(-0.92833328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59919222090704-0.59916922727865)×R²
    abs(-0.37692784--0.37697578)×2.29936283900889e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29936283900889e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29936283900889e-05×40589641000000     		ar = 33485.4013695612m²