Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57663 / 87872
↖ ↑ ↗
← S 52.160454°
W 21.623840°		 ← 187.36 m → S 52.160454°
W 21.621094°		 →
↑
187.37 m
↓
↑
187.37 m
↓
S 52.162140°
W 21.623840°		 ← 187.36 m →
35 106 m²		 S 52.162140°
W 21.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439937591552734 y=0.670413970947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439937591552734 × 217)
    floor (0.439937591552734 × 131072)
    floor (57663.5)     		tx = 57663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670413970947266 × 217)
    floor (0.670413970947266 × 131072)
    floor (87872.5)     		ty = 87872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57663 / 87872 ti = "17/57663/87872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57663/87872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57663 ÷ 217
    57663 ÷ 131072     		x = 0.439933776855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87872 ÷ 217
    87872 ÷ 131072     		y = 0.67041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439933776855469 × 2 - 1) × π
    -0.120132446289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.37740721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67041015625 × 2 - 1) × π
    -0.3408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.07071858991357
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37740721} λ = -0.37740721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07071858991357))-π/2
    2×atan(0.342762123496516)-π/2
    2×0.330212327722051-π/2
    0.660424655444102-1.57079632675     		φ = -0.91037167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37740721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.623840°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91037167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.160454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57663 KachelY 87872 -0.37740721 -0.91037167 -21.623840 -52.160454
    Oben rechts KachelX + 1 57664 KachelY 87872 -0.37735927 -0.91037167 -21.621094 -52.160454
    Unten links KachelX 57663 KachelY + 1 87873 -0.37740721 -0.91040108 -21.623840 -52.162140
    Unten rechts KachelX + 1 57664 KachelY + 1 87873 -0.37735927 -0.91040108 -21.621094 -52.162140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91037167--0.91040108) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dl = 187.371110000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91037167--0.91040108) × R
    2.94100000000075e-05 × 6371000     		dr = 187.371110000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37740721--0.37735927) × cos(-0.91037167) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.613452272249651 × 6371000     		do = 187.364114206408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37740721--0.37735927) × cos(-0.91040108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.613429045972231 × 6371000     		du = 187.35702030344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91037167)-sin(-0.91040108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613452272249651-0.613429045972231)×R²
    abs(-0.37735927--0.37740721)×2.32262774202407e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32262774202407e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32262774202407e-05×40589641000000     		ar = 35105.9574593579m²