Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57662 / 89674
↖ ↑ ↗
← S 55.094087°
W 21.626587°		 ← 174.77 m → S 55.094087°
W 21.623840°		 →
↑
174.76 m
↓
↑
174.76 m
↓
S 55.095659°
W 21.626587°		 ← 174.77 m →
30 542 m²		 S 55.095659°
W 21.623840°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439929962158203 y=0.684162139892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439929962158203 × 217)
    floor (0.439929962158203 × 131072)
    floor (57662.5)     		tx = 57662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684162139892578 × 217)
    floor (0.684162139892578 × 131072)
    floor (89674.5)     		ty = 89674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57662 / 89674 ti = "17/57662/89674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57662/89674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57662 ÷ 217
    57662 ÷ 131072     		x = 0.439926147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89674 ÷ 217
    89674 ÷ 131072     		y = 0.684158325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439926147460938 × 2 - 1) × π
    -0.120147705078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37745515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684158325195312 × 2 - 1) × π
    -0.368316650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.15710088302892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37745515} λ = -0.37745515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15710088302892))-π/2
    2×atan(0.314396332670574)-π/2
    2×0.304611554252342-π/2
    0.609223108504683-1.57079632675     		φ = -0.96157322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37745515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.626587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96157322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.094087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57662 KachelY 89674 -0.37745515 -0.96157322 -21.626587 -55.094087
    Oben rechts KachelX + 1 57663 KachelY 89674 -0.37740721 -0.96157322 -21.623840 -55.094087
    Unten links KachelX 57662 KachelY + 1 89675 -0.37745515 -0.96160065 -21.626587 -55.095659
    Unten rechts KachelX + 1 57663 KachelY + 1 89675 -0.37740721 -0.96160065 -21.623840 -55.095659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96157322--0.96160065) × R
    2.74299999999394e-05 × 6371000     		dl = 174.756529999614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96157322--0.96160065) × R
    2.74299999999394e-05 × 6371000     		dr = 174.756529999614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37745515--0.37740721) × cos(-0.96157322) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.572230508308089 × 6371000     		do = 174.773926450662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37745515--0.37740721) × cos(-0.96160065) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.572208012946565 × 6371000     		du = 174.767055788222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96157322)-sin(-0.96160065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572230508308089-0.572208012946565)×R²
    abs(-0.37740721--0.37745515)×2.24953615240997e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24953615240997e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24953615240997e-05×40589641000000     		ar = 30542.2845762444m²