Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57654 / 88822
↖ ↑ ↗
← S 53.732466°
W 21.648559°		 ← 180.64 m → S 53.732466°
W 21.645813°		 →
↑
180.68 m
↓
↑
180.68 m
↓
S 53.734091°
W 21.648559°		 ← 180.63 m →
32 637 m²		 S 53.734091°
W 21.645813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88822 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439868927001953 y=0.677661895751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439868927001953 × 217)
    floor (0.439868927001953 × 131072)
    floor (57654.5)     		tx = 57654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677661895751953 × 217)
    floor (0.677661895751953 × 131072)
    floor (88822.5)     		ty = 88822
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57654 / 88822 ti = "17/57654/88822"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57654/88822.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57654 ÷ 217
    57654 ÷ 131072     		x = 0.439865112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88822 ÷ 217
    88822 ÷ 131072     		y = 0.677658081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439865112304688 × 2 - 1) × π
    -0.120269775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37783864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677658081054688 × 2 - 1) × π
    -0.355316162109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.11625864455263
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37783864} λ = -0.37783864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11625864455263))-π/2
    2×atan(0.327502809750554)-π/2
    2×0.316493936855225-π/2
    0.63298787371045-1.57079632675     		φ = -0.93780845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37783864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.648559°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93780845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.732466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57654 KachelY 88822 -0.37783864 -0.93780845 -21.648559 -53.732466
    Oben rechts KachelX + 1 57655 KachelY 88822 -0.37779071 -0.93780845 -21.645813 -53.732466
    Unten links KachelX 57654 KachelY + 1 88823 -0.37783864 -0.93783681 -21.648559 -53.734091
    Unten rechts KachelX + 1 57655 KachelY + 1 88823 -0.37779071 -0.93783681 -21.645813 -53.734091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93780845--0.93783681) × R
    2.83599999999495e-05 × 6371000     		dl = 180.681559999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93780845--0.93783681) × R
    2.83599999999495e-05 × 6371000     		dr = 180.681559999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37783864--0.37779071) × cos(-0.93780845) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.591556411225995 × 6371000     		do = 180.638866591595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37783864--0.37779071) × cos(-0.93783681) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.591533545352065 × 6371000     		du = 180.631884221914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93780845)-sin(-0.93783681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.591556411225995-0.591533545352065)×R²
    abs(-0.37779071--0.37783864)×2.2865873929856e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2865873929856e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2865873929856e-05×40589641000000     		ar = 32637.4814218222m²