Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57646 / 89554
↖ ↑ ↗
← S 54.905040°
W 21.670532°		 ← 175.60 m → S 54.905040°
W 21.667786°		 →
↑
175.58 m
↓
↑
175.58 m
↓
S 54.906619°
W 21.670532°		 ← 175.59 m →
30 832 m²		 S 54.906619°
W 21.667786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57646 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439807891845703 y=0.683246612548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439807891845703 × 217)
    floor (0.439807891845703 × 131072)
    floor (57646.5)     		tx = 57646
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683246612548828 × 217)
    floor (0.683246612548828 × 131072)
    floor (89554.5)     		ty = 89554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57646 / 89554 ti = "17/57646/89554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57646/89554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57646 ÷ 217
    57646 ÷ 131072     		x = 0.439804077148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89554 ÷ 217
    89554 ÷ 131072     		y = 0.683242797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439804077148438 × 2 - 1) × π
    -0.120391845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37822214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683242797851562 × 2 - 1) × π
    -0.366485595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.15134845507451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37822214} λ = -0.37822214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15134845507451))-π/2
    2×atan(0.316210086666497)-π/2
    2×0.306261296951311-π/2
    0.612522593902621-1.57079632675     		φ = -0.95827373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37822214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.670532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95827373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.905040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57646 KachelY 89554 -0.37822214 -0.95827373 -21.670532 -54.905040
    Oben rechts KachelX + 1 57647 KachelY 89554 -0.37817420 -0.95827373 -21.667786 -54.905040
    Unten links KachelX 57646 KachelY + 1 89555 -0.37822214 -0.95830129 -21.670532 -54.906619
    Unten rechts KachelX + 1 57647 KachelY + 1 89555 -0.37817420 -0.95830129 -21.667786 -54.906619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95827373--0.95830129) × R
    2.75599999999265e-05 × 6371000     		dl = 175.584759999532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95827373--0.95830129) × R
    2.75599999999265e-05 × 6371000     		dr = 175.584759999532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37822214--0.37817420) × cos(-0.95827373) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.574933276651813 × 6371000     		do = 175.59942147189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37822214--0.37817420) × cos(-0.95830129) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.574910726833261 × 6371000     		du = 175.592534176871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95827373)-sin(-0.95830129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574933276651813-0.574910726833261)×R²
    abs(-0.37817420--0.37822214)×2.25498185520978e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.25498185520978e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.25498185520978e-05×40589641000000     		ar = 30831.9776251276m²