Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57644 / 88172
↖ ↑ ↗
← S 52.663058°
W 21.676025°		 ← 185.24 m → S 52.663058°
W 21.673279°		 →
↑
185.20 m
↓
↑
185.20 m
↓
S 52.664723°
W 21.676025°		 ← 185.23 m →
34 307 m²		 S 52.664723°
W 21.673279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57644 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439792633056641 y=0.672702789306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439792633056641 × 217)
    floor (0.439792633056641 × 131072)
    floor (57644.5)     		tx = 57644
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672702789306641 × 217)
    floor (0.672702789306641 × 131072)
    floor (88172.5)     		ty = 88172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57644 / 88172 ti = "17/57644/88172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57644/88172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57644 ÷ 217
    57644 ÷ 131072     		x = 0.439788818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88172 ÷ 217
    88172 ÷ 131072     		y = 0.672698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439788818359375 × 2 - 1) × π
    -0.12042236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37831801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672698974609375 × 2 - 1) × π
    -0.34539794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.08509965979959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37831801} λ = -0.37831801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08509965979959))-π/2
    2×atan(0.337868112348427)-π/2
    2×0.32582628814565-π/2
    0.6516525762913-1.57079632675     		φ = -0.91914375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37831801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.676025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91914375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.663058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57644 KachelY 88172 -0.37831801 -0.91914375 -21.676025 -52.663058
    Oben rechts KachelX + 1 57645 KachelY 88172 -0.37827007 -0.91914375 -21.673279 -52.663058
    Unten links KachelX 57644 KachelY + 1 88173 -0.37831801 -0.91917282 -21.676025 -52.664723
    Unten rechts KachelX + 1 57645 KachelY + 1 88173 -0.37827007 -0.91917282 -21.673279 -52.664723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91914375--0.91917282) × R
    2.90699999999644e-05 × 6371000     		dl = 185.204969999773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91914375--0.91917282) × R
    2.90699999999644e-05 × 6371000     		dr = 185.204969999773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37831801--0.37827007) × cos(-0.91914375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.606501168364606 × 6371000     		do = 185.241068158503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37831801--0.37827007) × cos(-0.91917282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.606478055057308 × 6371000     		du = 185.234008759518m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91914375)-sin(-0.91917282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606501168364606-0.606478055057308)×R²
    abs(-0.37827007--0.37831801)×2.31133072979839e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31133072979839e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31133072979839e-05×40589641000000     		ar = 34306.9127555028m²