Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57638 / 89756
↖ ↑ ↗
← S 55.222757°
W 21.692505°		 ← 174.17 m → S 55.222757°
W 21.689759°		 →
↑
174.25 m
↓
↑
174.25 m
↓
S 55.224324°
W 21.692505°		 ← 174.17 m →
30 349 m²		 S 55.224324°
W 21.689759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57638 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439746856689453 y=0.684787750244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439746856689453 × 217)
    floor (0.439746856689453 × 131072)
    floor (57638.5)     		tx = 57638
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684787750244141 × 217)
    floor (0.684787750244141 × 131072)
    floor (89756.5)     		ty = 89756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57638 / 89756 ti = "17/57638/89756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57638/89756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57638 ÷ 217
    57638 ÷ 131072     		x = 0.439743041992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89756 ÷ 217
    89756 ÷ 131072     		y = 0.684783935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439743041992188 × 2 - 1) × π
    -0.120513916015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37860563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684783935546875 × 2 - 1) × π
    -0.36956787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.16103170879776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37860563} λ = -0.37860563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16103170879776))-π/2
    2×atan(0.313162921215408)-π/2
    2×0.303488696799401-π/2
    0.606977393598803-1.57079632675     		φ = -0.96381893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37860563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.692505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96381893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.222757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57638 KachelY 89756 -0.37860563 -0.96381893 -21.692505 -55.222757
    Oben rechts KachelX + 1 57639 KachelY 89756 -0.37855770 -0.96381893 -21.689759 -55.222757
    Unten links KachelX 57638 KachelY + 1 89757 -0.37860563 -0.96384628 -21.692505 -55.224324
    Unten rechts KachelX + 1 57639 KachelY + 1 89757 -0.37855770 -0.96384628 -21.689759 -55.224324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96381893--0.96384628) × R
    2.73500000000926e-05 × 6371000     		dl = 174.24685000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96381893--0.96384628) × R
    2.73500000000926e-05 × 6371000     		dr = 174.24685000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37860563--0.37855770) × cos(-0.96381893) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.570387376253258 × 6371000     		do = 174.174647099175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37860563--0.37855770) × cos(-0.96384628) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.570364911411197 × 6371000     		du = 174.1677871894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96381893)-sin(-0.96384628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570387376253258-0.570364911411197)×R²
    abs(-0.37855770--0.37860563)×2.24648420610318e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.24648420610318e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.24648420610318e-05×40589641000000     		ar = 30348.7859500746m²