Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57635 / 87950
↖ ↑ ↗
← S 52.291682°
W 21.700744°		 ← 186.77 m → S 52.291682°
W 21.697998°		 →
↑
186.80 m
↓
↑
186.80 m
↓
S 52.293362°
W 21.700744°		 ← 186.77 m →
34 888 m²		 S 52.293362°
W 21.697998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439723968505859 y=0.671009063720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439723968505859 × 217)
    floor (0.439723968505859 × 131072)
    floor (57635.5)     		tx = 57635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.671009063720703 × 217)
    floor (0.671009063720703 × 131072)
    floor (87950.5)     		ty = 87950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57635 / 87950 ti = "17/57635/87950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57635/87950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57635 ÷ 217
    57635 ÷ 131072     		x = 0.439720153808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87950 ÷ 217
    87950 ÷ 131072     		y = 0.671005249023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439720153808594 × 2 - 1) × π
    -0.120559692382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.37874944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.671005249023438 × 2 - 1) × π
    -0.342010498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.07445766808394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37874944} λ = -0.37874944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07445766808394))-π/2
    2×atan(0.341482902167563)-π/2
    2×0.329067147343509-π/2
    0.658134294687018-1.57079632675     		φ = -0.91266203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37874944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.700744°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91266203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.291682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57635 KachelY 87950 -0.37874944 -0.91266203 -21.700744 -52.291682
    Oben rechts KachelX + 1 57636 KachelY 87950 -0.37870151 -0.91266203 -21.697998 -52.291682
    Unten links KachelX 57635 KachelY + 1 87951 -0.37874944 -0.91269135 -21.700744 -52.293362
    Unten rechts KachelX + 1 57636 KachelY + 1 87951 -0.37870151 -0.91269135 -21.697998 -52.293362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91266203--0.91269135) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dl = 186.797719999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91266203--0.91269135) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dr = 186.797719999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37874944--0.37870151) × cos(-0.91266203) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.611641894707075 × 6371000     		do = 186.772210600697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37874944--0.37870151) × cos(-0.91269135) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.611618698373306 × 6371000     		du = 186.765127321128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91266203)-sin(-0.91269135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611641894707075-0.611618698373306)×R²
    abs(-0.37870151--0.37874944)×2.31963337691266e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.31963337691266e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.31963337691266e-05×40589641000000     		ar = 34887.9615318352m²