Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57628 / 88606
↖ ↑ ↗
← S 53.380052°
W 21.719971°		 ← 182.15 m → S 53.380052°
W 21.717224°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
S 53.381690°
W 21.719971°		 ← 182.14 m →
33 177 m²		 S 53.381690°
W 21.717224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439670562744141 y=0.676013946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439670562744141 × 217)
    floor (0.439670562744141 × 131072)
    floor (57628.5)     		tx = 57628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676013946533203 × 217)
    floor (0.676013946533203 × 131072)
    floor (88606.5)     		ty = 88606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57628 / 88606 ti = "17/57628/88606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57628/88606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57628 ÷ 217
    57628 ÷ 131072     		x = 0.439666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88606 ÷ 217
    88606 ÷ 131072     		y = 0.676010131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439666748046875 × 2 - 1) × π
    -0.12066650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37908500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676010131835938 × 2 - 1) × π
    -0.352020263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.1059042742347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37908500} λ = -0.37908500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1059042742347))-π/2
    2×atan(0.330911512151648)-π/2
    2×0.319569334032128-π/2
    0.639138668064257-1.57079632675     		φ = -0.93165766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37908500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.719971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93165766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.380052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57628 KachelY 88606 -0.37908500 -0.93165766 -21.719971 -53.380052
    Oben rechts KachelX + 1 57629 KachelY 88606 -0.37903707 -0.93165766 -21.717224 -53.380052
    Unten links KachelX 57628 KachelY + 1 88607 -0.37908500 -0.93168625 -21.719971 -53.381690
    Unten rechts KachelX + 1 57629 KachelY + 1 88607 -0.37903707 -0.93168625 -21.717224 -53.381690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93165766--0.93168625) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93165766--0.93168625) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37908500--0.37903707) × cos(-0.93165766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59650434820977 × 6371000     		do = 182.149778673274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37908500--0.37903707) × cos(-0.93168625) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59648140135053 × 6371000     		du = 182.142771573754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93165766)-sin(-0.93168625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59650434820977-0.59648140135053)×R²
    abs(-0.37903707--0.37908500)×2.29468592403137e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29468592403137e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29468592403137e-05×40589641000000     		ar = 33177.3775410957m²