Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57627 / 87823
↖ ↑ ↗
← S 52.077818°
W 21.722717°		 ← 187.71 m → S 52.077818°
W 21.719971°		 →
↑
187.69 m
↓
↑
187.69 m
↓
S 52.079506°
W 21.722717°		 ← 187.70 m →
35 231 m²		 S 52.079506°
W 21.719971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57627 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439662933349609 y=0.670040130615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439662933349609 × 217)
    floor (0.439662933349609 × 131072)
    floor (57627.5)     		tx = 57627
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670040130615234 × 217)
    floor (0.670040130615234 × 131072)
    floor (87823.5)     		ty = 87823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57627 / 87823 ti = "17/57627/87823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57627/87823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57627 ÷ 217
    57627 ÷ 131072     		x = 0.439659118652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87823 ÷ 217
    87823 ÷ 131072     		y = 0.670036315917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439659118652344 × 2 - 1) × π
    -0.120681762695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37913294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670036315917969 × 2 - 1) × π
    -0.340072631835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.06836968183219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37913294} λ = -0.37913294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.06836968183219))-π/2
    2×atan(0.343568186531765)-π/2
    2×0.330933467624182-π/2
    0.661866935248364-1.57079632675     		φ = -0.90892939
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37913294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.722717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.90892939 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.077818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57627 KachelY 87823 -0.37913294 -0.90892939 -21.722717 -52.077818
    Oben rechts KachelX + 1 57628 KachelY 87823 -0.37908500 -0.90892939 -21.719971 -52.077818
    Unten links KachelX 57627 KachelY + 1 87824 -0.37913294 -0.90895885 -21.722717 -52.079506
    Unten rechts KachelX + 1 57628 KachelY + 1 87824 -0.37908500 -0.90895885 -21.719971 -52.079506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.90892939--0.90895885) × R
    2.94600000000367e-05 × 6371000     		dl = 187.689660000234m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.90892939--0.90895885) × R
    2.94600000000367e-05 × 6371000     		dr = 187.689660000234m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37913294--0.37908500) × cos(-0.90892939) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.614590648186662 × 6371000     		do = 187.711803519368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37913294--0.37908500) × cos(-0.90895885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.614567408510767 × 6371000     		du = 187.70470552416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.90892939)-sin(-0.90895885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.614590648186662-0.614567408510767)×R²
    abs(-0.37908500--0.37913294)×2.32396758953479e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32396758953479e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32396758953479e-05×40589641000000     		ar = 35230.8984727697m²