Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57624 / 88616
↖ ↑ ↗
← S 53.396432°
W 21.730957°		 ← 182.12 m → S 53.396432°
W 21.728210°		 →
↑
182.08 m
↓
↑
182.08 m
↓
S 53.398070°
W 21.730957°		 ← 182.11 m →
33 160 m²		 S 53.398070°
W 21.728210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439640045166016 y=0.676090240478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439640045166016 × 217)
    floor (0.439640045166016 × 131072)
    floor (57624.5)     		tx = 57624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676090240478516 × 217)
    floor (0.676090240478516 × 131072)
    floor (88616.5)     		ty = 88616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57624 / 88616 ti = "17/57624/88616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57624/88616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57624 ÷ 217
    57624 ÷ 131072     		x = 0.43963623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88616 ÷ 217
    88616 ÷ 131072     		y = 0.67608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.1207275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37927675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67608642578125 × 2 - 1) × π
    -0.3521728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.1063836432309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37927675} λ = -0.37927675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1063836432309))-π/2
    2×atan(0.330752921447007)-π/2
    2×0.319426388689124-π/2
    0.638852777378248-1.57079632675     		φ = -0.93194355
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37927675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.730957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93194355 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.396432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57624 KachelY 88616 -0.37927675 -0.93194355 -21.730957 -53.396432
    Oben rechts KachelX + 1 57625 KachelY 88616 -0.37922881 -0.93194355 -21.728210 -53.396432
    Unten links KachelX 57624 KachelY + 1 88617 -0.37927675 -0.93197213 -21.730957 -53.398070
    Unten rechts KachelX + 1 57625 KachelY + 1 88617 -0.37922881 -0.93197213 -21.728210 -53.398070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93194355--0.93197213) × R
    2.85800000000558e-05 × 6371000     		dl = 182.083180000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93194355--0.93197213) × R
    2.85800000000558e-05 × 6371000     		dr = 182.083180000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37927675--0.37922881) × cos(-0.93194355) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596274865707365 × 6371000     		do = 182.117692101953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37927675--0.37922881) × cos(-0.93197213) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596251922001546 × 6371000     		du = 182.110684503625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93194355)-sin(-0.93197213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596274865707365-0.596251922001546)×R²
    abs(-0.37922881--0.37927675)×2.2943705819789e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2943705819789e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2943705819789e-05×40589641000000     		ar = 33159.9305316102m²