Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57624 / 88408
↖ ↑ ↗
← S 53.054422°
W 21.730957°		 ← 183.58 m → S 53.054422°
W 21.728210°		 →
↑
183.61 m
↓
↑
183.61 m
↓
S 53.056073°
W 21.730957°		 ← 183.57 m →
33 707 m²		 S 53.056073°
W 21.728210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439640045166016 y=0.674503326416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439640045166016 × 217)
    floor (0.439640045166016 × 131072)
    floor (57624.5)     		tx = 57624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674503326416016 × 217)
    floor (0.674503326416016 × 131072)
    floor (88408.5)     		ty = 88408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57624 / 88408 ti = "17/57624/88408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57624/88408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57624 ÷ 217
    57624 ÷ 131072     		x = 0.43963623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88408 ÷ 217
    88408 ÷ 131072     		y = 0.67449951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43963623046875 × 2 - 1) × π
    -0.1207275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37927675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.3489990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09641276810992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37927675} λ = -0.37927675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09641276810992))-π/2
    2×atan(0.334067313759337)-π/2
    2×0.322410991259683-π/2
    0.644821982519366-1.57079632675     		φ = -0.92597434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37927675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.730957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92597434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.054422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57624 KachelY 88408 -0.37927675 -0.92597434 -21.730957 -53.054422
    Oben rechts KachelX + 1 57625 KachelY 88408 -0.37922881 -0.92597434 -21.728210 -53.054422
    Unten links KachelX 57624 KachelY + 1 88409 -0.37927675 -0.92600316 -21.730957 -53.056073
    Unten rechts KachelX + 1 57625 KachelY + 1 88409 -0.37922881 -0.92600316 -21.728210 -53.056073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92597434--0.92600316) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dl = 183.612220000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92597434--0.92600316) × R
    2.88200000000405e-05 × 6371000     		dr = 183.612220000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37927675--0.37922881) × cos(-0.92597434) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.601056178678483 × 6371000     		do = 183.578028154327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37927675--0.37922881) × cos(-0.92600316) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.601033145289598 × 6371000     		du = 183.570993164483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92597434)-sin(-0.92600316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601056178678483-0.601033145289598)×R²
    abs(-0.37922881--0.37927675)×2.30333888843193e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30333888843193e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30333888843193e-05×40589641000000     		ar = 33706.5234400705m²