Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57623 / 89745
↖ ↑ ↗
← S 55.205521°
W 21.733704°		 ← 174.29 m → S 55.205521°
W 21.730957°		 →
↑
174.25 m
↓
↑
174.25 m
↓
S 55.207088°
W 21.733704°		 ← 174.28 m →
30 368 m²		 S 55.207088°
W 21.730957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57623 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439632415771484 y=0.684703826904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439632415771484 × 217)
    floor (0.439632415771484 × 131072)
    floor (57623.5)     		tx = 57623
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684703826904297 × 217)
    floor (0.684703826904297 × 131072)
    floor (89745.5)     		ty = 89745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57623 / 89745 ti = "17/57623/89745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57623/89745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57623 ÷ 217
    57623 ÷ 131072     		x = 0.439628601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89745 ÷ 217
    89745 ÷ 131072     		y = 0.684700012207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439628601074219 × 2 - 1) × π
    -0.120742797851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.37932469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684700012207031 × 2 - 1) × π
    -0.369400024414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.16050440290194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37932469} λ = -0.37932469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.16050440290194))-π/2
    2×atan(0.313328097415482)-π/2
    2×0.303639113681293-π/2
    0.607278227362585-1.57079632675     		φ = -0.96351810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37932469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.733704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96351810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.205521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57623 KachelY 89745 -0.37932469 -0.96351810 -21.733704 -55.205521
    Oben rechts KachelX + 1 57624 KachelY 89745 -0.37927675 -0.96351810 -21.730957 -55.205521
    Unten links KachelX 57623 KachelY + 1 89746 -0.37932469 -0.96354545 -21.733704 -55.207088
    Unten rechts KachelX + 1 57624 KachelY + 1 89746 -0.37927675 -0.96354545 -21.730957 -55.207088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96351810--0.96354545) × R
    2.73499999999816e-05 × 6371000     		dl = 174.246849999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96351810--0.96354545) × R
    2.73499999999816e-05 × 6371000     		dr = 174.246849999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37932469--0.37927675) × cos(-0.96351810) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.570634444928417 × 6371000     		do = 174.286447611839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37932469--0.37927675) × cos(-0.96354545) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.570611984780257 × 6371000     		du = 174.279587704466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96351810)-sin(-0.96354545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.570634444928417-0.570611984780257)×R²
    abs(-0.37927675--0.37932469)×2.24601481604303e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24601481604303e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24601481604303e-05×40589641000000     		ar = 30368.2668373834m²