Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57619 / 89456
↖ ↑ ↗
← S 54.749991°
W 21.744690°		 ← 176.24 m → S 54.749991°
W 21.741944°		 →
↑
176.22 m
↓
↑
176.22 m
↓
S 54.751576°
W 21.744690°		 ← 176.23 m →
31 056 m²		 S 54.751576°
W 21.741944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439601898193359 y=0.682498931884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439601898193359 × 217)
    floor (0.439601898193359 × 131072)
    floor (57619.5)     		tx = 57619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.682498931884766 × 217)
    floor (0.682498931884766 × 131072)
    floor (89456.5)     		ty = 89456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57619 / 89456 ti = "17/57619/89456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57619/89456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57619 ÷ 217
    57619 ÷ 131072     		x = 0.439598083496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89456 ÷ 217
    89456 ÷ 131072     		y = 0.6824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439598083496094 × 2 - 1) × π
    -0.120803833007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.37951643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6824951171875 × 2 - 1) × π
    -0.364990234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.14665063891174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37951643} λ = -0.37951643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14665063891174))-π/2
    2×atan(0.317699078288484)-π/2
    2×0.307614359473094-π/2
    0.615228718946187-1.57079632675     		φ = -0.95556761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37951643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.744690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95556761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.749991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57619 KachelY 89456 -0.37951643 -0.95556761 -21.744690 -54.749991
    Oben rechts KachelX + 1 57620 KachelY 89456 -0.37946850 -0.95556761 -21.741944 -54.749991
    Unten links KachelX 57619 KachelY + 1 89457 -0.37951643 -0.95559527 -21.744690 -54.751576
    Unten rechts KachelX + 1 57620 KachelY + 1 89457 -0.37946850 -0.95559527 -21.741944 -54.751576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95556761--0.95559527) × R
    2.76599999999849e-05 × 6371000     		dl = 176.221859999904m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95556761--0.95559527) × R
    2.76599999999849e-05 × 6371000     		dr = 176.221859999904m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37951643--0.37946850) × cos(-0.95556761) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577145316997954 × 6371000     		do = 176.238265603597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37951643--0.37946850) × cos(-0.95559527) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.577122728474243 × 6371000     		du = 176.231367926142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95556761)-sin(-0.95559527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.577145316997954-0.577122728474243)×R²
    abs(-0.37946850--0.37951643)×2.25885237109535e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.25885237109535e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.25885237109535e-05×40589641000000     		ar = 31056.427209039m²