Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57619 / 89381
↖ ↑ ↗
← S 54.630928°
W 21.744690°		 ← 176.76 m → S 54.630928°
W 21.741944°		 →
↑
176.80 m
↓
↑
176.80 m
↓
S 54.632518°
W 21.744690°		 ← 176.75 m →
31 249 m²		 S 54.632518°
W 21.741944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439601898193359 y=0.681926727294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439601898193359 × 217)
    floor (0.439601898193359 × 131072)
    floor (57619.5)     		tx = 57619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681926727294922 × 217)
    floor (0.681926727294922 × 131072)
    floor (89381.5)     		ty = 89381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57619 / 89381 ti = "17/57619/89381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57619/89381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57619 ÷ 217
    57619 ÷ 131072     		x = 0.439598083496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89381 ÷ 217
    89381 ÷ 131072     		y = 0.681922912597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439598083496094 × 2 - 1) × π
    -0.120803833007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.37951643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681922912597656 × 2 - 1) × π
    -0.363845825195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.14305537144024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37951643} λ = -0.37951643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14305537144024))-π/2
    2×atan(0.318843347194206)-π/2
    2×0.308653379180023-π/2
    0.617306758360046-1.57079632675     		φ = -0.95348957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37951643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.744690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95348957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.630928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57619 KachelY 89381 -0.37951643 -0.95348957 -21.744690 -54.630928
    Oben rechts KachelX + 1 57620 KachelY 89381 -0.37946850 -0.95348957 -21.741944 -54.630928
    Unten links KachelX 57619 KachelY + 1 89382 -0.37951643 -0.95351732 -21.744690 -54.632518
    Unten rechts KachelX + 1 57620 KachelY + 1 89382 -0.37946850 -0.95351732 -21.741944 -54.632518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95348957--0.95351732) × R
    2.77499999999931e-05 × 6371000     		dl = 176.795249999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95348957--0.95351732) × R
    2.77499999999931e-05 × 6371000     		dr = 176.795249999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37951643--0.37946850) × cos(-0.95348957) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578841083278927 × 6371000     		do = 176.756088237561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37951643--0.37946850) × cos(-0.95351732) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.578818454585735 × 6371000     		du = 176.749178293871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95348957)-sin(-0.95351732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578841083278927-0.578818454585735)×R²
    abs(-0.37946850--0.37951643)×2.26286931923614e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.26286931923614e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.26286931923614e-05×40589641000000     		ar = 31249.0259883274m²