Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57600 / 90368
↖ ↑ ↗
← S 56.170023°
W 21.796875°		 ← 170.04 m → S 56.170023°
W 21.794129°		 →
↑
170.04 m
↓
↑
170.04 m
↓
S 56.171552°
W 21.796875°		 ← 170.03 m →
28 913 m²		 S 56.171552°
W 21.794129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57600 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439456939697266 y=0.689456939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439456939697266 × 217)
    floor (0.439456939697266 × 131072)
    floor (57600.5)     		tx = 57600
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689456939697266 × 217)
    floor (0.689456939697266 × 131072)
    floor (90368.5)     		ty = 90368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57600 / 90368 ti = "17/57600/90368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57600/90368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57600 ÷ 217
    57600 ÷ 131072     		x = 0.439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90368 ÷ 217
    90368 ÷ 131072     		y = 0.689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439453125 × 2 - 1) × π
    -0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689453125 × 2 - 1) × π
    -0.37890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19036909136523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38042724} λ = -0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19036909136523))-π/2
    2×atan(0.304108999344261)-π/2
    2×0.295222242420394-π/2
    0.590444484840787-1.57079632675     		φ = -0.98035184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98035184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.170023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57600 KachelY 90368 -0.38042724 -0.98035184 -21.796875 -56.170023
    Oben rechts KachelX + 1 57601 KachelY 90368 -0.38037930 -0.98035184 -21.794129 -56.170023
    Unten links KachelX 57600 KachelY + 1 90369 -0.38042724 -0.98037853 -21.796875 -56.171552
    Unten rechts KachelX + 1 57601 KachelY + 1 90369 -0.38037930 -0.98037853 -21.794129 -56.171552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98035184--0.98037853) × R
    2.66899999999959e-05 × 6371000     		dl = 170.041989999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98035184--0.98037853) × R
    2.66899999999959e-05 × 6371000     		dr = 170.041989999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38042724--0.38037930) × cos(-0.98035184) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.556730310100116 × 6371000     		do = 170.039766942843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38042724--0.38037930) × cos(-0.98037853) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.556708138697596 × 6371000     		du = 170.032995225821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98035184)-sin(-0.98037853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556730310100116-0.556708138697596)×R²
    abs(-0.38037930--0.38042724)×2.21714025200326e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21714025200326e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21714025200326e-05×40589641000000     		ar = 28913.3246136887m²