Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57598 / 88619
↖ ↑ ↗
← S 53.401345°
W 21.802368°		 ← 182.10 m → S 53.401345°
W 21.799621°		 →
↑
182.02 m
↓
↑
182.02 m
↓
S 53.402982°
W 21.802368°		 ← 182.09 m →
33 145 m²		 S 53.402982°
W 21.799621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57598 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439441680908203 y=0.676113128662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439441680908203 × 217)
    floor (0.439441680908203 × 131072)
    floor (57598.5)     		tx = 57598
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.676113128662109 × 217)
    floor (0.676113128662109 × 131072)
    floor (88619.5)     		ty = 88619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57598 / 88619 ti = "17/57598/88619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57598/88619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57598 ÷ 217
    57598 ÷ 131072     		x = 0.439437866210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88619 ÷ 217
    88619 ÷ 131072     		y = 0.676109313964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439437866210938 × 2 - 1) × π
    -0.121124267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38052311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.676109313964844 × 2 - 1) × π
    -0.352218627929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.10652745392976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38052311} λ = -0.38052311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10652745392976))-π/2
    2×atan(0.330705359058296)-π/2
    2×0.319383515811418-π/2
    0.638767031622836-1.57079632675     		φ = -0.93202930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38052311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.802368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93202930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.401345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57598 KachelY 88619 -0.38052311 -0.93202930 -21.802368 -53.401345
    Oben rechts KachelX + 1 57599 KachelY 88619 -0.38047517 -0.93202930 -21.799621 -53.401345
    Unten links KachelX 57598 KachelY + 1 88620 -0.38052311 -0.93205787 -21.802368 -53.402982
    Unten rechts KachelX + 1 57599 KachelY + 1 88620 -0.38047517 -0.93205787 -21.799621 -53.402982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93202930--0.93205787) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dl = 182.019470000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93202930--0.93205787) × R
    2.85700000000055e-05 × 6371000     		dr = 182.019470000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38052311--0.38047517) × cos(-0.93202930) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596206025100525 × 6371000     		do = 182.096666408878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38052311--0.38047517) × cos(-0.93205787) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596183087961991 × 6371000     		du = 182.089660816368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93202930)-sin(-0.93205787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596206025100525-0.596183087961991)×R²
    abs(-0.38047517--0.38052311)×2.29371385339627e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29371385339627e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29371385339627e-05×40589641000000     		ar = 33144.5011336105m²