Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57591 / 89705
↖ ↑ ↗
← S 55.142779°
W 21.821594°		 ← 174.56 m → S 55.142779°
W 21.818848°		 →
↑
174.57 m
↓
↑
174.57 m
↓
S 55.144349°
W 21.821594°		 ← 174.55 m →
30 472 m²		 S 55.144349°
W 21.818848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57591 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439388275146484 y=0.684398651123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439388275146484 × 217)
    floor (0.439388275146484 × 131072)
    floor (57591.5)     		tx = 57591
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684398651123047 × 217)
    floor (0.684398651123047 × 131072)
    floor (89705.5)     		ty = 89705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57591 / 89705 ti = "17/57591/89705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57591/89705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57591 ÷ 217
    57591 ÷ 131072     		x = 0.439384460449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89705 ÷ 217
    89705 ÷ 131072     		y = 0.684394836425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439384460449219 × 2 - 1) × π
    -0.121231079101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38085867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684394836425781 × 2 - 1) × π
    -0.368789672851562 × 3.1415926535     		Φ = -1.15858692691714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38085867} λ = -0.38085867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15858692691714))-π/2
    2×atan(0.313929472894902)-π/2
    2×0.304186633454523-π/2
    0.608373266909046-1.57079632675     		φ = -0.96242306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38085867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.821594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96242306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.142779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57591 KachelY 89705 -0.38085867 -0.96242306 -21.821594 -55.142779
    Oben rechts KachelX + 1 57592 KachelY 89705 -0.38081073 -0.96242306 -21.818848 -55.142779
    Unten links KachelX 57591 KachelY + 1 89706 -0.38085867 -0.96245046 -21.821594 -55.144349
    Unten rechts KachelX + 1 57592 KachelY + 1 89706 -0.38081073 -0.96245046 -21.818848 -55.144349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96242306--0.96245046) × R
    2.74000000000107e-05 × 6371000     		dl = 174.565400000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96242306--0.96245046) × R
    2.74000000000107e-05 × 6371000     		dr = 174.565400000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38085867--0.38081073) × cos(-0.96242306) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.5715333540632 × 6371000     		do = 174.560997599523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38085867--0.38081073) × cos(-0.96245046) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.57151086998857 × 6371000     		du = 174.55413038439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96242306)-sin(-0.96245046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5715333540632-0.57151086998857)×R²
    abs(-0.38081073--0.38085867)×2.24840746307908e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24840746307908e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24840746307908e-05×40589641000000     		ar = 30471.7109831595m²