Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57583 / 88756
↖ ↑ ↗
← S 53.625096°
W 21.843567°		 ← 181.10 m → S 53.625096°
W 21.840821°		 →
↑
181.13 m
↓
↑
181.13 m
↓
S 53.626725°
W 21.843567°		 ← 181.09 m →
32 802 m²		 S 53.626725°
W 21.840821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439327239990234 y=0.677158355712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439327239990234 × 217)
    floor (0.439327239990234 × 131072)
    floor (57583.5)     		tx = 57583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677158355712891 × 217)
    floor (0.677158355712891 × 131072)
    floor (88756.5)     		ty = 88756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57583 / 88756 ti = "17/57583/88756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57583/88756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57583 ÷ 217
    57583 ÷ 131072     		x = 0.439323425292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88756 ÷ 217
    88756 ÷ 131072     		y = 0.677154541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439323425292969 × 2 - 1) × π
    -0.121353149414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38124216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677154541015625 × 2 - 1) × π
    -0.35430908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1130948091777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38124216} λ = -0.38124216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1130948091777))-π/2
    2×atan(0.328540615583142)-π/2
    2×0.317430924419813-π/2
    0.634861848839625-1.57079632675     		φ = -0.93593448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38124216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.843567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93593448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.625096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57583 KachelY 88756 -0.38124216 -0.93593448 -21.843567 -53.625096
    Oben rechts KachelX + 1 57584 KachelY 88756 -0.38119423 -0.93593448 -21.840821 -53.625096
    Unten links KachelX 57583 KachelY + 1 88757 -0.38124216 -0.93596291 -21.843567 -53.626725
    Unten rechts KachelX + 1 57584 KachelY + 1 88757 -0.38119423 -0.93596291 -21.840821 -53.626725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93593448--0.93596291) × R
    2.84299999999682e-05 × 6371000     		dl = 181.127529999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93593448--0.93596291) × R
    2.84299999999682e-05 × 6371000     		dr = 181.127529999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38124216--0.38119423) × cos(-0.93593448) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.593066285460176 × 6371000     		do = 181.09992485258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38124216--0.38119423) × cos(-0.93596291) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.593043394702569 × 6371000     		du = 181.092934884369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93593448)-sin(-0.93596291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.593066285460176-0.593043394702569)×R²
    abs(-0.38119423--0.38124216)×2.28907576071968e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.28907576071968e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.28907576071968e-05×40589641000000     		ar = 32801.5490359059m²