Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57579 / 89701
↖ ↑ ↗
← S 55.136500°
W 21.854553°		 ← 174.59 m → S 55.136500°
W 21.851806°		 →
↑
174.57 m
↓
↑
174.57 m
↓
S 55.138070°
W 21.854553°		 ← 174.58 m →
30 477 m²		 S 55.138070°
W 21.851806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57579 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439296722412109 y=0.684368133544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439296722412109 × 217)
    floor (0.439296722412109 × 131072)
    floor (57579.5)     		tx = 57579
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684368133544922 × 217)
    floor (0.684368133544922 × 131072)
    floor (89701.5)     		ty = 89701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57579 / 89701 ti = "17/57579/89701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57579/89701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57579 ÷ 217
    57579 ÷ 131072     		x = 0.439292907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89701 ÷ 217
    89701 ÷ 131072     		y = 0.684364318847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439292907714844 × 2 - 1) × π
    -0.121414184570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.38143391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684364318847656 × 2 - 1) × π
    -0.368728637695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.15839517931866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38143391} λ = -0.38143391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15839517931866))-π/2
    2×atan(0.313989673888936)-π/2
    2×0.304241432839534-π/2
    0.608482865679067-1.57079632675     		φ = -0.96231346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38143391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.854553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96231346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.136500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57579 KachelY 89701 -0.38143391 -0.96231346 -21.854553 -55.136500
    Oben rechts KachelX + 1 57580 KachelY 89701 -0.38138597 -0.96231346 -21.851806 -55.136500
    Unten links KachelX 57579 KachelY + 1 89702 -0.38143391 -0.96234086 -21.854553 -55.138070
    Unten rechts KachelX + 1 57580 KachelY + 1 89702 -0.38138597 -0.96234086 -21.851806 -55.138070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96231346--0.96234086) × R
    2.74000000000107e-05 × 6371000     		dl = 174.565400000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96231346--0.96234086) × R
    2.74000000000107e-05 × 6371000     		dr = 174.565400000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38143391--0.38138597) × cos(-0.96231346) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.571623286070711 × 6371000     		do = 174.588465149264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38143391--0.38138597) × cos(-0.96234086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.571600803712519 × 6371000     		du = 174.581598458376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96231346)-sin(-0.96234086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571623286070711-0.571600803712519)×R²
    abs(-0.38138597--0.38143391)×2.24823581920219e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.24823581920219e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.24823581920219e-05×40589641000000     		ar = 30476.505912766m²