Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57576 / 88091
↖ ↑ ↗
← S 52.527919°
W 21.862793°		 ← 185.81 m → S 52.527919°
W 21.860046°		 →
↑
185.78 m
↓
↑
185.78 m
↓
S 52.529590°
W 21.862793°		 ← 185.81 m →
34 519 m²		 S 52.529590°
W 21.860046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439273834228516 y=0.672084808349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439273834228516 × 217)
    floor (0.439273834228516 × 131072)
    floor (57576.5)     		tx = 57576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.672084808349609 × 217)
    floor (0.672084808349609 × 131072)
    floor (88091.5)     		ty = 88091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57576 / 88091 ti = "17/57576/88091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57576/88091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57576 ÷ 217
    57576 ÷ 131072     		x = 0.43927001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88091 ÷ 217
    88091 ÷ 131072     		y = 0.672080993652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43927001953125 × 2 - 1) × π
    -0.1214599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38157772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.672080993652344 × 2 - 1) × π
    -0.344161987304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.08121677093037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38157772} λ = -0.38157772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08121677093037))-π/2
    2×atan(0.339182566970257)-π/2
    2×0.327005594823251-π/2
    0.654011189646502-1.57079632675     		φ = -0.91678514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38157772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.862793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91678514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.527919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57576 KachelY 88091 -0.38157772 -0.91678514 -21.862793 -52.527919
    Oben rechts KachelX + 1 57577 KachelY 88091 -0.38152978 -0.91678514 -21.860046 -52.527919
    Unten links KachelX 57576 KachelY + 1 88092 -0.38157772 -0.91681430 -21.862793 -52.529590
    Unten rechts KachelX + 1 57577 KachelY + 1 88092 -0.38152978 -0.91681430 -21.860046 -52.529590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91678514--0.91681430) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dl = 185.778359999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91678514--0.91681430) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dr = 185.778359999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38157772--0.38152978) × cos(-0.91678514) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.608374769390442 × 6371000     		do = 185.813314138498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38157772--0.38152978) × cos(-0.91681430) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.608351626301146 × 6371000     		du = 185.806245643324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91678514)-sin(-0.91681430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608374769390442-0.608351626301146)×R²
    abs(-0.38152978--0.38157772)×2.31430892956297e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.31430892956297e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.31430892956297e-05×40589641000000     		ar = 34519.4361824783m²