Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57559 / 88935
↖ ↑ ↗
← S 53.915663°
W 21.909485°		 ← 179.89 m → S 53.915663°
W 21.906738°		 →
↑
179.92 m
↓
↑
179.92 m
↓
S 53.917281°
W 21.909485°		 ← 179.88 m →
32 364 m²		 S 53.917281°
W 21.906738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439144134521484 y=0.678524017333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439144134521484 × 217)
    floor (0.439144134521484 × 131072)
    floor (57559.5)     		tx = 57559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678524017333984 × 217)
    floor (0.678524017333984 × 131072)
    floor (88935.5)     		ty = 88935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57559 / 88935 ti = "17/57559/88935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57559/88935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57559 ÷ 217
    57559 ÷ 131072     		x = 0.439140319824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88935 ÷ 217
    88935 ÷ 131072     		y = 0.678520202636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439140319824219 × 2 - 1) × π
    -0.121719360351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.38239265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678520202636719 × 2 - 1) × π
    -0.357040405273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.12167551420969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38239265} λ = -0.38239265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12167551420969))-π/2
    2×atan(0.325733565925573)-π/2
    2×0.314895241240392-π/2
    0.629790482480783-1.57079632675     		φ = -0.94100584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38239265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.909485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94100584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.915663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57559 KachelY 88935 -0.38239265 -0.94100584 -21.909485 -53.915663
    Oben rechts KachelX + 1 57560 KachelY 88935 -0.38234471 -0.94100584 -21.906738 -53.915663
    Unten links KachelX 57559 KachelY + 1 88936 -0.38239265 -0.94103408 -21.909485 -53.917281
    Unten rechts KachelX + 1 57560 KachelY + 1 88936 -0.38234471 -0.94103408 -21.906738 -53.917281
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94100584--0.94103408) × R
    2.82400000000127e-05 × 6371000     		dl = 179.917040000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94100584--0.94103408) × R
    2.82400000000127e-05 × 6371000     		dr = 179.917040000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38239265--0.38234471) × cos(-0.94100584) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.588975452579945 × 6371000     		do = 179.888263446155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38239265--0.38234471) × cos(-0.94103408) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.588952630162995 × 6371000     		du = 179.88129289257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94100584)-sin(-0.94103408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.588975452579945-0.588952630162995)×R²
    abs(-0.38234471--0.38239265)×2.28224169491753e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.28224169491753e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.28224169491753e-05×40589641000000     		ar = 32364.3368316274m²