Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57545 / 89713
↖ ↑ ↗
← S 55.155336°
W 21.947937°		 ← 174.47 m → S 55.155336°
W 21.945191°		 →
↑
174.44 m
↓
↑
174.44 m
↓
S 55.156905°
W 21.947937°		 ← 174.46 m →
30 434 m²		 S 55.156905°
W 21.945191°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57545 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439037322998047 y=0.684459686279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439037322998047 × 217)
    floor (0.439037322998047 × 131072)
    floor (57545.5)     		tx = 57545
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684459686279297 × 217)
    floor (0.684459686279297 × 131072)
    floor (89713.5)     		ty = 89713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57545 / 89713 ti = "17/57545/89713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57545/89713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57545 ÷ 217
    57545 ÷ 131072     		x = 0.439033508300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89713 ÷ 217
    89713 ÷ 131072     		y = 0.684455871582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.439033508300781 × 2 - 1) × π
    -0.121932983398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.38306376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684455871582031 × 2 - 1) × π
    -0.368911743164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.1589704221141
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38306376} λ = -0.38306376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1589704221141))-π/2
    2×atan(0.313809105531491)-π/2
    2×0.304077060548835-π/2
    0.60815412109767-1.57079632675     		φ = -0.96264221
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38306376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.947937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96264221 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.155336°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57545 KachelY 89713 -0.38306376 -0.96264221 -21.947937 -55.155336
    Oben rechts KachelX + 1 57546 KachelY 89713 -0.38301583 -0.96264221 -21.945191 -55.155336
    Unten links KachelX 57545 KachelY + 1 89714 -0.38306376 -0.96266959 -21.947937 -55.156905
    Unten rechts KachelX + 1 57546 KachelY + 1 89714 -0.38301583 -0.96266959 -21.945191 -55.156905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96264221--0.96266959) × R
    2.73799999999103e-05 × 6371000     		dl = 174.437979999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96264221--0.96266959) × R
    2.73799999999103e-05 × 6371000     		dr = 174.437979999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38306376--0.38301583) × cos(-0.96264221) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.571353510488414 × 6371000     		do = 174.469667810273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38306376--0.38301583) × cos(-0.96266959) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.571331039396893 × 6371000     		du = 174.46280599215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96264221)-sin(-0.96266959))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.571353510488414-0.571331039396893)×R²
    abs(-0.38301583--0.38306376)×2.24710915209814e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.24710915209814e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.24710915209814e-05×40589641000000     		ar = 30433.5379450344m²