Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57544 / 90313
↖ ↑ ↗
← S 56.085830°
W 21.950683°		 ← 170.41 m → S 56.085830°
W 21.947937°		 →
↑
170.36 m
↓
↑
170.36 m
↓
S 56.087362°
W 21.950683°		 ← 170.41 m →
29 031 m²		 S 56.087362°
W 21.947937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439029693603516 y=0.689037322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439029693603516 × 217)
    floor (0.439029693603516 × 131072)
    floor (57544.5)     		tx = 57544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689037322998047 × 217)
    floor (0.689037322998047 × 131072)
    floor (90313.5)     		ty = 90313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57544 / 90313 ti = "17/57544/90313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57544/90313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57544 ÷ 217
    57544 ÷ 131072     		x = 0.43902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90313 ÷ 217
    90313 ÷ 131072     		y = 0.689033508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.1219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38311170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689033508300781 × 2 - 1) × π
    -0.378067016601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.18773256188613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38311170} λ = -0.38311170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18773256188613))-π/2
    2×atan(0.304911849589992)-π/2
    2×0.295956964372513-π/2
    0.591913928745025-1.57079632675     		φ = -0.97888240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38311170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.950683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97888240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.085830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57544 KachelY 90313 -0.38311170 -0.97888240 -21.950683 -56.085830
    Oben rechts KachelX + 1 57545 KachelY 90313 -0.38306376 -0.97888240 -21.947937 -56.085830
    Unten links KachelX 57544 KachelY + 1 90314 -0.38311170 -0.97890914 -21.950683 -56.087362
    Unten rechts KachelX + 1 57545 KachelY + 1 90314 -0.38306376 -0.97890914 -21.947937 -56.087362
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97888240--0.97890914) × R
    2.67399999999141e-05 × 6371000     		dl = 170.360539999452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97888240--0.97890914) × R
    2.67399999999141e-05 × 6371000     		dr = 170.360539999452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38311170--0.38306376) × cos(-0.97888240) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.557950362565429 × 6371000     		do = 170.4124023699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38311170--0.38306376) × cos(-0.97890914) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.557928171526545 × 6371000     		du = 170.405624655427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97888240)-sin(-0.97890914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557950362565429-0.557928171526545)×R²
    abs(-0.38306376--0.38311170)×2.21910388843449e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21910388843449e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21910388843449e-05×40589641000000     		ar = 29030.9715646663m²