Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57544 / 89523
↖ ↑ ↗
← S 54.856059°
W 21.950683°		 ← 175.81 m → S 54.856059°
W 21.947937°		 →
↑
175.78 m
↓
↑
175.78 m
↓
S 54.857640°
W 21.950683°		 ← 175.81 m →
30 903 m²		 S 54.857640°
W 21.947937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.439029693603516 y=0.683010101318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.439029693603516 × 217)
    floor (0.439029693603516 × 131072)
    floor (57544.5)     		tx = 57544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.683010101318359 × 217)
    floor (0.683010101318359 × 131072)
    floor (89523.5)     		ty = 89523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57544 / 89523 ti = "17/57544/89523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57544/89523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57544 ÷ 217
    57544 ÷ 131072     		x = 0.43902587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89523 ÷ 217
    89523 ÷ 131072     		y = 0.683006286621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.1219482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38311170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.683006286621094 × 2 - 1) × π
    -0.366012573242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.14986241118629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38311170} λ = -0.38311170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14986241118629))-π/2
    2×atan(0.316680338053742)-π/2
    2×0.306688744748771-π/2
    0.613377489497542-1.57079632675     		φ = -0.95741884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38311170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.950683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95741884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.856059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57544 KachelY 89523 -0.38311170 -0.95741884 -21.950683 -54.856059
    Oben rechts KachelX + 1 57545 KachelY 89523 -0.38306376 -0.95741884 -21.947937 -54.856059
    Unten links KachelX 57544 KachelY + 1 89524 -0.38311170 -0.95744643 -21.950683 -54.857640
    Unten rechts KachelX + 1 57545 KachelY + 1 89524 -0.38306376 -0.95744643 -21.947937 -54.857640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95741884--0.95744643) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dl = 175.775889999785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95741884--0.95744643) × R
    2.75899999999663e-05 × 6371000     		dr = 175.775889999785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38311170--0.38306376) × cos(-0.95741884) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575632537728023 × 6371000     		do = 175.812993803748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38311170--0.38306376) × cos(-0.95744643) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.575609976931583 × 6371000     		du = 175.8061031558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95741884)-sin(-0.95744643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575632537728023-0.575609976931583)×R²
    abs(-0.38306376--0.38311170)×2.25607964404739e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.25607964404739e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.25607964404739e-05×40589641000000     		ar = 30903.0798564012m²