Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57538 / 88905
↖ ↑ ↗
← S 53.867105°
W 21.967163°		 ← 180.06 m → S 53.867105°
W 21.964417°		 →
↑
180.11 m
↓
↑
180.11 m
↓
S 53.868725°
W 21.967163°		 ← 180.05 m →
32 430 m²		 S 53.868725°
W 21.964417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57538 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88905 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438983917236328 y=0.678295135498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438983917236328 × 217)
    floor (0.438983917236328 × 131072)
    floor (57538.5)     		tx = 57538
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678295135498047 × 217)
    floor (0.678295135498047 × 131072)
    floor (88905.5)     		ty = 88905
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57538 / 88905 ti = "17/57538/88905"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57538/88905.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57538 ÷ 217
    57538 ÷ 131072     		x = 0.438980102539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88905 ÷ 217
    88905 ÷ 131072     		y = 0.678291320800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438980102539062 × 2 - 1) × π
    -0.122039794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38339932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678291320800781 × 2 - 1) × π
    -0.356582641601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.12023740722109
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38339932} λ = -0.38339932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12023740722109))-π/2
    2×atan(0.326202342637893)-π/2
    2×0.315318992240033-π/2
    0.630637984480066-1.57079632675     		φ = -0.94015834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38339932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.967163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94015834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.867105°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57538 KachelY 88905 -0.38339932 -0.94015834 -21.967163 -53.867105
    Oben rechts KachelX + 1 57539 KachelY 88905 -0.38335139 -0.94015834 -21.964417 -53.867105
    Unten links KachelX 57538 KachelY + 1 88906 -0.38339932 -0.94018661 -21.967163 -53.868725
    Unten rechts KachelX + 1 57539 KachelY + 1 88906 -0.38335139 -0.94018661 -21.964417 -53.868725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94015834--0.94018661) × R
    2.82700000000524e-05 × 6371000     		dl = 180.108170000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94015834--0.94018661) × R
    2.82700000000524e-05 × 6371000     		dr = 180.108170000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38339932--0.38335139) × cos(-0.94015834) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.589660148888563 × 6371000     		do = 180.059820074615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38339932--0.38335139) × cos(-0.94018661) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.589637316345676 × 6371000     		du = 180.052847882969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94015834)-sin(-0.94018661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.589660148888563-0.589637316345676)×R²
    abs(-0.38335139--0.38339932)×2.28325428868192e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.28325428868192e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.28325428868192e-05×40589641000000     		ar = 32429.616811901m²