Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57537 / 89671
↖ ↑ ↗
← S 55.089372°
W 21.969910°		 ← 174.79 m → S 55.089372°
W 21.967163°		 →
↑
174.76 m
↓
↑
174.76 m
↓
S 55.090943°
W 21.969910°		 ← 174.79 m →
30 546 m²		 S 55.090943°
W 21.967163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57537 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438976287841797 y=0.684139251708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438976287841797 × 217)
    floor (0.438976287841797 × 131072)
    floor (57537.5)     		tx = 57537
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.684139251708984 × 217)
    floor (0.684139251708984 × 131072)
    floor (89671.5)     		ty = 89671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57537 / 89671 ti = "17/57537/89671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57537/89671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57537 ÷ 217
    57537 ÷ 131072     		x = 0.438972473144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89671 ÷ 217
    89671 ÷ 131072     		y = 0.684135437011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438972473144531 × 2 - 1) × π
    -0.122055053710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.38344726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.684135437011719 × 2 - 1) × π
    -0.368270874023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.15695707233006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38344726} λ = -0.38344726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.15695707233006))-π/2
    2×atan(0.314441549478147)-π/2
    2×0.304652703113513-π/2
    0.609305406227025-1.57079632675     		φ = -0.96149092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38344726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.969910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.96149092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.089372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57537 KachelY 89671 -0.38344726 -0.96149092 -21.969910 -55.089372
    Oben rechts KachelX + 1 57538 KachelY 89671 -0.38339932 -0.96149092 -21.967163 -55.089372
    Unten links KachelX 57537 KachelY + 1 89672 -0.38344726 -0.96151835 -21.969910 -55.090943
    Unten rechts KachelX + 1 57538 KachelY + 1 89672 -0.38339932 -0.96151835 -21.967163 -55.090943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.96149092--0.96151835) × R
    2.74299999999394e-05 × 6371000     		dl = 174.756529999614m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.96149092--0.96151835) × R
    2.74299999999394e-05 × 6371000     		dr = 174.756529999614m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38344726--0.38339932) × cos(-0.96149092) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.572298000009757 × 6371000     		do = 174.794540153588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38344726--0.38339932) × cos(-0.96151835) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.572275505940087 × 6371000     		du = 174.787669885713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.96149092)-sin(-0.96151835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.572298000009757-0.572275505940087)×R²
    abs(-0.38339932--0.38344726)×2.24940696691434e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.24940696691434e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.24940696691434e-05×40589641000000     		ar = 30545.8869899277m²