Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57536 / 88256
↖ ↑ ↗
← S 52.802761°
W 21.972656°		 ← 184.65 m → S 52.802761°
W 21.969910°		 →
↑
184.63 m
↓
↑
184.63 m
↓
S 52.804422°
W 21.972656°		 ← 184.64 m →
34 091 m²		 S 52.804422°
W 21.969910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438968658447266 y=0.673343658447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438968658447266 × 217)
    floor (0.438968658447266 × 131072)
    floor (57536.5)     		tx = 57536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.673343658447266 × 217)
    floor (0.673343658447266 × 131072)
    floor (88256.5)     		ty = 88256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57536 / 88256 ti = "17/57536/88256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57536/88256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57536 ÷ 217
    57536 ÷ 131072     		x = 0.43896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88256 ÷ 217
    88256 ÷ 131072     		y = 0.67333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43896484375 × 2 - 1) × π
    -0.1220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38349520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67333984375 × 2 - 1) × π
    -0.3466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.08912635936768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38349520} λ = -0.38349520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.08912635936768))-π/2
    2×atan(0.336510354442542)-π/2
    2×0.324607142984811-π/2
    0.649214285969621-1.57079632675     		φ = -0.92158204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38349520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.972656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92158204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.802761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57536 KachelY 88256 -0.38349520 -0.92158204 -21.972656 -52.802761
    Oben rechts KachelX + 1 57537 KachelY 88256 -0.38344726 -0.92158204 -21.969910 -52.802761
    Unten links KachelX 57536 KachelY + 1 88257 -0.38349520 -0.92161102 -21.972656 -52.804422
    Unten rechts KachelX + 1 57537 KachelY + 1 88257 -0.38344726 -0.92161102 -21.969910 -52.804422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92158204--0.92161102) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dl = 184.631579999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92158204--0.92161102) × R
    2.89799999999563e-05 × 6371000     		dr = 184.631579999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38349520--0.38344726) × cos(-0.92158204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604560725443044 × 6371000     		do = 184.648406943258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38349520--0.38344726) × cos(-0.92161102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.604537640907745 × 6371000     		du = 184.641356331981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92158204)-sin(-0.92161102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604560725443044-0.604537640907745)×R²
    abs(-0.38344726--0.38349520)×2.30845352988673e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30845352988673e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30845352988673e-05×40589641000000     		ar = 34091.2762379661m²