Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57535 / 90305
↖ ↑ ↗
← S 56.073568°
W 21.975403°		 ← 170.43 m → S 56.073568°
W 21.972656°		 →
↑
170.49 m
↓
↑
170.49 m
↓
S 56.075102°
W 21.975403°		 ← 170.42 m →
29 056 m²		 S 56.075102°
W 21.972656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438961029052734 y=0.688976287841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438961029052734 × 217)
    floor (0.438961029052734 × 131072)
    floor (57535.5)     		tx = 57535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688976287841797 × 217)
    floor (0.688976287841797 × 131072)
    floor (90305.5)     		ty = 90305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57535 / 90305 ti = "17/57535/90305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57535/90305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57535 ÷ 217
    57535 ÷ 131072     		x = 0.438957214355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90305 ÷ 217
    90305 ÷ 131072     		y = 0.688972473144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438957214355469 × 2 - 1) × π
    -0.122085571289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.38354313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688972473144531 × 2 - 1) × π
    -0.377944946289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.18734906668917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38354313} λ = -0.38354313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18734906668917))-π/2
    2×atan(0.305028804244147)-π/2
    2×0.296063967040146-π/2
    0.592127934080293-1.57079632675     		φ = -0.97866839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38354313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.975403°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97866839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.073568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57535 KachelY 90305 -0.38354313 -0.97866839 -21.975403 -56.073568
    Oben rechts KachelX + 1 57536 KachelY 90305 -0.38349520 -0.97866839 -21.972656 -56.073568
    Unten links KachelX 57535 KachelY + 1 90306 -0.38354313 -0.97869515 -21.975403 -56.075102
    Unten rechts KachelX + 1 57536 KachelY + 1 90306 -0.38349520 -0.97869515 -21.972656 -56.075102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97866839--0.97869515) × R
    2.67599999999035e-05 × 6371000     		dl = 170.487959999385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97866839--0.97869515) × R
    2.67599999999035e-05 × 6371000     		dr = 170.487959999385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38354313--0.38349520) × cos(-0.97866839) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.558127951190918 × 6371000     		do = 170.431084175504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38354313--0.38349520) × cos(-0.97869515) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.558105746750024 × 6371000     		du = 170.424303782357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97866839)-sin(-0.97869515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558127951190918-0.558105746750024)×R²
    abs(-0.38349520--0.38354313)×2.22044408941802e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.22044408941802e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.22044408941802e-05×40589641000000     		ar = 29055.8698754894m²