Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57534 / 88773
↖ ↑ ↗
← S 53.652778°
W 21.978149°		 ← 181.02 m → S 53.652778°
W 21.975403°		 →
↑
181 m
↓
↑
181 m
↓
S 53.654406°
W 21.978149°		 ← 181.01 m →
32 764 m²		 S 53.654406°
W 21.975403°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438953399658203 y=0.677288055419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438953399658203 × 217)
    floor (0.438953399658203 × 131072)
    floor (57534.5)     		tx = 57534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.677288055419922 × 217)
    floor (0.677288055419922 × 131072)
    floor (88773.5)     		ty = 88773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57534 / 88773 ti = "17/57534/88773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57534/88773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57534 ÷ 217
    57534 ÷ 131072     		x = 0.438949584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88773 ÷ 217
    88773 ÷ 131072     		y = 0.677284240722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438949584960938 × 2 - 1) × π
    -0.122100830078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38359107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.677284240722656 × 2 - 1) × π
    -0.354568481445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.11390973647124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38359107} λ = -0.38359107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.11390973647124))-π/2
    2×atan(0.328272987931817)-π/2
    2×0.317189350739041-π/2
    0.634378701478083-1.57079632675     		φ = -0.93641763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38359107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.978149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.93641763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.652778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57534 KachelY 88773 -0.38359107 -0.93641763 -21.978149 -53.652778
    Oben rechts KachelX + 1 57535 KachelY 88773 -0.38354313 -0.93641763 -21.975403 -53.652778
    Unten links KachelX 57534 KachelY + 1 88774 -0.38359107 -0.93644604 -21.978149 -53.654406
    Unten rechts KachelX + 1 57535 KachelY + 1 88774 -0.38354313 -0.93644604 -21.975403 -53.654406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.93641763--0.93644604) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dl = 181.000109999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.93641763--0.93644604) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dr = 181.000109999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38359107--0.38354313) × cos(-0.93641763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592677206274138 × 6371000     		do = 181.018874307293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38359107--0.38354313) × cos(-0.93644604) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592654323482168 × 6371000     		du = 181.011885313622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.93641763)-sin(-0.93644604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592677206274138-0.592654323482168)×R²
    abs(-0.38354313--0.38359107)×2.28827919709351e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28827919709351e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28827919709351e-05×40589641000000     		ar = 32763.8036595808m²