Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57533 / 87873
↖ ↑ ↗
← S 52.162140°
W 21.980896°		 ← 187.36 m → S 52.162140°
W 21.978149°		 →
↑
187.31 m
↓
↑
187.31 m
↓
S 52.163824°
W 21.980896°		 ← 187.35 m →
35 093 m²		 S 52.163824°
W 21.978149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57533 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438945770263672 y=0.670421600341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438945770263672 × 217)
    floor (0.438945770263672 × 131072)
    floor (57533.5)     		tx = 57533
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670421600341797 × 217)
    floor (0.670421600341797 × 131072)
    floor (87873.5)     		ty = 87873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57533 / 87873 ti = "17/57533/87873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57533/87873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57533 ÷ 217
    57533 ÷ 131072     		x = 0.438941955566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87873 ÷ 217
    87873 ÷ 131072     		y = 0.670417785644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438941955566406 × 2 - 1) × π
    -0.122116088867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.38363901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.670417785644531 × 2 - 1) × π
    -0.340835571289062 × 3.1415926535     		Φ = -1.07076652681319
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38363901} λ = -0.38363901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07076652681319))-π/2
    2×atan(0.342745692936826)-π/2
    2×0.330197624500394-π/2
    0.660395249000788-1.57079632675     		φ = -0.91040108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38363901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.980896°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91040108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.162140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57533 KachelY 87873 -0.38363901 -0.91040108 -21.980896 -52.162140
    Oben rechts KachelX + 1 57534 KachelY 87873 -0.38359107 -0.91040108 -21.978149 -52.162140
    Unten links KachelX 57533 KachelY + 1 87874 -0.38363901 -0.91043048 -21.980896 -52.163824
    Unten rechts KachelX + 1 57534 KachelY + 1 87874 -0.38359107 -0.91043048 -21.978149 -52.163824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91040108--0.91043048) × R
    2.94000000000683e-05 × 6371000     		dl = 187.307400000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91040108--0.91043048) × R
    2.94000000000683e-05 × 6371000     		dr = 187.307400000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38363901--0.38359107) × cos(-0.91040108) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613429045972231 × 6371000     		do = 187.357020303657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38363901--0.38359107) × cos(-0.91043048) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.613405827061905 × 6371000     		du = 187.349928650789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91040108)-sin(-0.91043048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.613429045972231-0.613405827061905)×R²
    abs(-0.38359107--0.38363901)×2.32189103259728e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.32189103259728e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.32189103259728e-05×40589641000000     		ar = 35092.692187882m²