Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57532 / 88903
↖ ↑ ↗
← S 53.863866°
W 21.983642°		 ← 180.07 m → S 53.863866°
W 21.980896°		 →
↑
180.11 m
↓
↑
180.11 m
↓
S 53.865486°
W 21.983642°		 ← 180.07 m →
32 432 m²		 S 53.865486°
W 21.980896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438938140869141 y=0.678279876708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438938140869141 × 217)
    floor (0.438938140869141 × 131072)
    floor (57532.5)     		tx = 57532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.678279876708984 × 217)
    floor (0.678279876708984 × 131072)
    floor (88903.5)     		ty = 88903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57532 / 88903 ti = "17/57532/88903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57532/88903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57532 ÷ 217
    57532 ÷ 131072     		x = 0.438934326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88903 ÷ 217
    88903 ÷ 131072     		y = 0.678276062011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438934326171875 × 2 - 1) × π
    -0.12213134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38368694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.678276062011719 × 2 - 1) × π
    -0.356552124023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.12014153342185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38368694} λ = -0.38368694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12014153342185))-π/2
    2×atan(0.326233618395042)-π/2
    2×0.315347259813698-π/2
    0.630694519627395-1.57079632675     		φ = -0.94010181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38368694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.983642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94010181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.863866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57532 KachelY 88903 -0.38368694 -0.94010181 -21.983642 -53.863866
    Oben rechts KachelX + 1 57533 KachelY 88903 -0.38363901 -0.94010181 -21.980896 -53.863866
    Unten links KachelX 57532 KachelY + 1 88904 -0.38368694 -0.94013008 -21.983642 -53.865486
    Unten rechts KachelX + 1 57533 KachelY + 1 88904 -0.38363901 -0.94013008 -21.980896 -53.865486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94010181--0.94013008) × R
    2.82699999999414e-05 × 6371000     		dl = 180.108169999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94010181--0.94013008) × R
    2.82699999999414e-05 × 6371000     		dr = 180.108169999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38368694--0.38363901) × cos(-0.94010181) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.58970580448438 × 6371000     		do = 180.073761560035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38368694--0.38363901) × cos(-0.94013008) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.589682972883849 × 6371000     		du = 180.066789656149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94010181)-sin(-0.94013008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.58970580448438-0.589682972883849)×R²
    abs(-0.38363901--0.38368694)×2.28316005308482e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.28316005308482e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.28316005308482e-05×40589641000000     		ar = 32432.1278132016m²