Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57532 / 88444
↖ ↑ ↗
← S 53.113812°
W 21.983642°		 ← 183.29 m → S 53.113812°
W 21.980896°		 →
↑
183.29 m
↓
↑
183.29 m
↓
S 53.115460°
W 21.983642°		 ← 183.28 m →
33 595 m²		 S 53.115460°
W 21.980896°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57532 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438938140869141 y=0.674777984619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438938140869141 × 217)
    floor (0.438938140869141 × 131072)
    floor (57532.5)     		tx = 57532
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674777984619141 × 217)
    floor (0.674777984619141 × 131072)
    floor (88444.5)     		ty = 88444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57532 / 88444 ti = "17/57532/88444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57532/88444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57532 ÷ 217
    57532 ÷ 131072     		x = 0.438934326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88444 ÷ 217
    88444 ÷ 131072     		y = 0.674774169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438934326171875 × 2 - 1) × π
    -0.12213134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.38368694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674774169921875 × 2 - 1) × π
    -0.34954833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.09813849649625
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38368694} λ = -0.38368694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09813849649625))-π/2
    2×atan(0.333491301476368)-π/2
    2×0.321892718987172-π/2
    0.643785437974345-1.57079632675     		φ = -0.92701089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38368694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.983642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92701089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.113812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57532 KachelY 88444 -0.38368694 -0.92701089 -21.983642 -53.113812
    Oben rechts KachelX + 1 57533 KachelY 88444 -0.38363901 -0.92701089 -21.980896 -53.113812
    Unten links KachelX 57532 KachelY + 1 88445 -0.38368694 -0.92703966 -21.983642 -53.115460
    Unten rechts KachelX + 1 57533 KachelY + 1 88445 -0.38363901 -0.92703966 -21.980896 -53.115460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92701089--0.92703966) × R
    2.87700000000113e-05 × 6371000     		dl = 183.293670000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92701089--0.92703966) × R
    2.87700000000113e-05 × 6371000     		dr = 183.293670000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38368694--0.38363901) × cos(-0.92701089) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.600227438145501 × 6371000     		do = 183.28666897371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38368694--0.38363901) × cos(-0.92703966) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.600204426806097 × 6371000     		du = 183.279642184396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92701089)-sin(-0.92703966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600227438145501-0.600204426806097)×R²
    abs(-0.38363901--0.38368694)×2.30113394046327e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.30113394046327e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.30113394046327e-05×40589641000000     		ar = 33594.642237688m²