Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57524 / 88496
↖ ↑ ↗
← S 53.199452°
W 22.005615°		 ← 182.96 m → S 53.199452°
W 22.002868°		 →
↑
182.91 m
↓
↑
182.91 m
↓
S 53.201097°
W 22.005615°		 ← 182.95 m →
33 465 m²		 S 53.201097°
W 22.002868°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438877105712891 y=0.675174713134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438877105712891 × 217)
    floor (0.438877105712891 × 131072)
    floor (57524.5)     		tx = 57524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.675174713134766 × 217)
    floor (0.675174713134766 × 131072)
    floor (88496.5)     		ty = 88496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57524 / 88496 ti = "17/57524/88496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57524/88496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57524 ÷ 217
    57524 ÷ 131072     		x = 0.438873291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88496 ÷ 217
    88496 ÷ 131072     		y = 0.6751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438873291015625 × 2 - 1) × π
    -0.12225341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38407044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6751708984375 × 2 - 1) × π
    -0.350341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.10063121527649
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38407044} λ = -0.38407044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.10063121527649))-π/2
    2×atan(0.332661036684364)-π/2
    2×0.321145365426484-π/2
    0.642290730852968-1.57079632675     		φ = -0.92850560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38407044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.005615°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92850560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.199452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57524 KachelY 88496 -0.38407044 -0.92850560 -22.005615 -53.199452
    Oben rechts KachelX + 1 57525 KachelY 88496 -0.38402250 -0.92850560 -22.002868 -53.199452
    Unten links KachelX 57524 KachelY + 1 88497 -0.38407044 -0.92853431 -22.005615 -53.201097
    Unten rechts KachelX + 1 57525 KachelY + 1 88497 -0.38402250 -0.92853431 -22.002868 -53.201097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92850560--0.92853431) × R
    2.87099999999318e-05 × 6371000     		dl = 182.911409999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92850560--0.92853431) × R
    2.87099999999318e-05 × 6371000     		dr = 182.911409999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38407044--0.38402250) × cos(-0.92850560) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.599031255130401 × 6371000     		do = 182.959564381423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38407044--0.38402250) × cos(-0.92853431) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.599008266050313 × 6371000     		du = 182.952542924626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92850560)-sin(-0.92853431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599031255130401-0.599008266050313)×R²
    abs(-0.38402250--0.38407044)×2.29890800875765e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29890800875765e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29890800875765e-05×40589641000000     		ar = 33464.7497439063m²