Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57518 / 89367
↖ ↑ ↗
← S 54.608664°
W 22.022095°		 ← 176.89 m → S 54.608664°
W 22.019348°		 →
↑
176.86 m
↓
↑
176.86 m
↓
S 54.610255°
W 22.022095°		 ← 176.88 m →
31 284 m²		 S 54.610255°
W 22.019348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 89367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438831329345703 y=0.681819915771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438831329345703 × 217)
    floor (0.438831329345703 × 131072)
    floor (57518.5)     		tx = 57518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.681819915771484 × 217)
    floor (0.681819915771484 × 131072)
    floor (89367.5)     		ty = 89367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57518 / 89367 ti = "17/57518/89367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57518/89367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57518 ÷ 217
    57518 ÷ 131072     		x = 0.438827514648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 89367 ÷ 217
    89367 ÷ 131072     		y = 0.681816101074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438827514648438 × 2 - 1) × π
    -0.122344970703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.38435806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.681816101074219 × 2 - 1) × π
    -0.363632202148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.14238425484556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38435806} λ = -0.38435806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.14238425484556))-π/2
    2×atan(0.319057400074798)-π/2
    2×0.308847667261668-π/2
    0.617695334523335-1.57079632675     		φ = -0.95310099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38435806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.022095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.95310099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.608664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57518 KachelY 89367 -0.38435806 -0.95310099 -22.022095 -54.608664
    Oben rechts KachelX + 1 57519 KachelY 89367 -0.38431012 -0.95310099 -22.019348 -54.608664
    Unten links KachelX 57518 KachelY + 1 89368 -0.38435806 -0.95312875 -22.022095 -54.610255
    Unten rechts KachelX + 1 57519 KachelY + 1 89368 -0.38431012 -0.95312875 -22.019348 -54.610255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.95310099--0.95312875) × R
    2.77599999999323e-05 × 6371000     		dl = 176.858959999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.95310099--0.95312875) × R
    2.77599999999323e-05 × 6371000     		dr = 176.858959999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38435806--0.38431012) × cos(-0.95310099) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.579157903389825 × 6371000     		do = 176.889731219775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38435806--0.38431012) × cos(-0.95312875) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.579135272787602 × 6371000     		du = 176.882819251344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.95310099)-sin(-0.95312875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579157903389825-0.579135272787602)×R²
    abs(-0.38431012--0.38435806)×2.26306022222955e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.26306022222955e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.26306022222955e-05×40589641000000     		ar = 31283.9226783082m²