Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57514 / 87896
↖ ↑ ↗
← S 52.200874°
W 22.033081°		 ← 187.19 m → S 52.200874°
W 22.030334°		 →
↑
187.18 m
↓
↑
187.18 m
↓
S 52.202557°
W 22.033081°		 ← 187.19 m →
35 038 m²		 S 52.202557°
W 22.030334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438800811767578 y=0.670597076416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438800811767578 × 217)
    floor (0.438800811767578 × 131072)
    floor (57514.5)     		tx = 57514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.670597076416016 × 217)
    floor (0.670597076416016 × 131072)
    floor (87896.5)     		ty = 87896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57514 / 87896 ti = "17/57514/87896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57514/87896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57514 ÷ 217
    57514 ÷ 131072     		x = 0.438796997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87896 ÷ 217
    87896 ÷ 131072     		y = 0.67059326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438796997070312 × 2 - 1) × π
    -0.122406005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.38454981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.67059326171875 × 2 - 1) × π
    -0.3411865234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.07186907550446
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38454981} λ = -0.38454981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.07186907550446))-π/2
    2×atan(0.342368007368268)-π/2
    2×0.329859604014227-π/2
    0.659719208028455-1.57079632675     		φ = -0.91107712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38454981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.033081°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.91107712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -52.200874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57514 KachelY 87896 -0.38454981 -0.91107712 -22.033081 -52.200874
    Oben rechts KachelX + 1 57515 KachelY 87896 -0.38450187 -0.91107712 -22.030334 -52.200874
    Unten links KachelX 57514 KachelY + 1 87897 -0.38454981 -0.91110650 -22.033081 -52.202557
    Unten rechts KachelX + 1 57515 KachelY + 1 87897 -0.38450187 -0.91110650 -22.030334 -52.202557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.91107712--0.91110650) × R
    2.93800000000788e-05 × 6371000     		dl = 187.179980000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.91107712--0.91110650) × R
    2.93800000000788e-05 × 6371000     		dr = 187.179980000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38454981--0.38450187) × cos(-0.91107712) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.612895003355115 × 6371000     		do = 187.193909941916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38454981--0.38450187) × cos(-0.91110650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.612871788061718 × 6371000     		du = 187.186819393751m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.91107712)-sin(-0.91110650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.612895003355115-0.612871788061718)×R²
    abs(-0.38450187--0.38454981)×2.32152933964391e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32152933964391e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32152933964391e-05×40589641000000     		ar = 35038.2887173756m²