Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57490 / 90482
↖ ↑ ↗
← S 56.343946°
W 22.098999°		 ← 169.23 m → S 56.343946°
W 22.096253°		 →
↑
169.21 m
↓
↑
169.21 m
↓
S 56.345468°
W 22.098999°		 ← 169.23 m →
28 636 m²		 S 56.345468°
W 22.096253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438617706298828 y=0.690326690673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438617706298828 × 217)
    floor (0.438617706298828 × 131072)
    floor (57490.5)     		tx = 57490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690326690673828 × 217)
    floor (0.690326690673828 × 131072)
    floor (90482.5)     		ty = 90482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57490 / 90482 ti = "17/57490/90482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57490/90482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57490 ÷ 217
    57490 ÷ 131072     		x = 0.438613891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90482 ÷ 217
    90482 ÷ 131072     		y = 0.690322875976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438613891601562 × 2 - 1) × π
    -0.122772216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.38570029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690322875976562 × 2 - 1) × π
    -0.380645751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19583389792192
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38570029} λ = -0.38570029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19583389792192))-π/2
    2×atan(0.302451635202551)-π/2
    2×0.293704480644803-π/2
    0.587408961289607-1.57079632675     		φ = -0.98338737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38570029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.098999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98338737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.343946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57490 KachelY 90482 -0.38570029 -0.98338737 -22.098999 -56.343946
    Oben rechts KachelX + 1 57491 KachelY 90482 -0.38565236 -0.98338737 -22.096253 -56.343946
    Unten links KachelX 57490 KachelY + 1 90483 -0.38570029 -0.98341393 -22.098999 -56.345468
    Unten rechts KachelX + 1 57491 KachelY + 1 90483 -0.38565236 -0.98341393 -22.096253 -56.345468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98338737--0.98341393) × R
    2.65600000000088e-05 × 6371000     		dl = 169.213760000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98338737--0.98341393) × R
    2.65600000000088e-05 × 6371000     		dr = 169.213760000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38570029--0.38565236) × cos(-0.98338737) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.55420615455621 × 6371000     		do = 169.233516393686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38570029--0.38565236) × cos(-0.98341393) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.554184046362711 × 6371000     		du = 169.226765390839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98338737)-sin(-0.98341393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55420615455621-0.554184046362711)×R²
    abs(-0.38565236--0.38570029)×2.21081934992373e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.21081934992373e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.21081934992373e-05×40589641000000     		ar = 28636.0684473297m²