Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57453 / 88453
↖ ↑ ↗
← S 53.128646°
W 22.200623°		 ← 183.26 m → S 53.128646°
W 22.197876°		 →
↑
183.23 m
↓
↑
183.23 m
↓
S 53.130294°
W 22.200623°		 ← 183.25 m →
33 578 m²		 S 53.130294°
W 22.197876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57453 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 88453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.438335418701172 y=0.674846649169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.438335418701172 × 217)
    floor (0.438335418701172 × 131072)
    floor (57453.5)     		tx = 57453
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.674846649169922 × 217)
    floor (0.674846649169922 × 131072)
    floor (88453.5)     		ty = 88453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57453 / 88453 ti = "17/57453/88453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57453/88453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57453 ÷ 217
    57453 ÷ 131072     		x = 0.438331604003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 88453 ÷ 217
    88453 ÷ 131072     		y = 0.674842834472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.438331604003906 × 2 - 1) × π
    -0.123336791992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.38747396
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.674842834472656 × 2 - 1) × π
    -0.349685668945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.09856992859283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.38747396} λ = -0.38747396}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.09856992859283))-π/2
    2×atan(0.333347453657495)-π/2
    2×0.321763262634553-π/2
    0.643526525269106-1.57079632675     		φ = -0.92726980
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.38747396} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.200623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.92726980 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -53.128646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57453 KachelY 88453 -0.38747396 -0.92726980 -22.200623 -53.128646
    Oben rechts KachelX + 1 57454 KachelY 88453 -0.38742602 -0.92726980 -22.197876 -53.128646
    Unten links KachelX 57453 KachelY + 1 88454 -0.38747396 -0.92729856 -22.200623 -53.130294
    Unten rechts KachelX + 1 57454 KachelY + 1 88454 -0.38742602 -0.92729856 -22.197876 -53.130294
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.92726980--0.92729856) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dl = 183.229959999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.92726980--0.92729856) × R
    2.8759999999961e-05 × 6371000     		dr = 183.229959999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.38747396--0.38742602) × cos(-0.92726980) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.600020334207465 × 6371000     		do = 183.261654590454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.38747396--0.38742602) × cos(-0.92729856) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.599997326397939 × 6371000     		du = 183.254627413204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.92726980)-sin(-0.92729856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600020334207465-0.599997326397939)×R²
    abs(-0.38742602--0.38747396)×2.30078095260211e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.30078095260211e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.30078095260211e-05×40589641000000     		ar = 33578.3818476688m²